Bonjour, une piste est que (f(b)-f(a))/(b-a) = -1 donc les point A(a;f(a)) et B(b;f(b)) sont forcement à l'intersection de la fonction avec une droite de pente -1.
Après, je ne sais pas, ça dépend pas mal de la fonction, rien ne dit à priori que les points A et B sont uniques. Et inversement, rien ne dit que toutes les droites de pente -1 qui coupent la fonction en deux points qui conviennent.
Par exemple j'ai essayé avec la fonction y=x²-1, j'ai trouvé 3 couples de points qui conviennent.

C'est un problème que tu as inventé ?

Bonsoir,

Supposons que pour la fonction donnée il n'existe que deux points a et b
tels que
alors
les points a et b sont deux points fixes de la fonction g(x)=f(f(x))

Nous pouvons dire que la fonction g coupe la bissectrice  y=x en a et b ,

Que savons-nous de plus?


Alain

Bonjour,

Illustration :



on a bien trois solutions
a = b = (points B et B)
a = b =-1/ (points A et A)
a = 0, b = -1 (points C et D sur f(f(x)), E et F sur f(x)
(je ne compte pas comme différente la solution en échangeant a et b)

alors certes E et F sont bien "les intersections de f(x) avec une droite de pente -1"

mais A et B ?
la tangente en A n'a même pas une pente -1, on ne peut donc même pas considérer que A et A seraient "les intersections de f(x) avec une droite de pente -1"

Bonsoir,

Merci pour ces réponses claires et constructives.
J'ai essayé avec g(x) = f(f(x)) mais le probléme c'est qu'une partie de g(x) coincide avec la droite d'équation y=x et du coup impossible dans ces conditions d'avoir la valeur de de "a" et e "b" ...

L'info de plus c'est qu'il existe 2 autres nombres "c" et "d" tel que f(c) = a et f(d) = b

Il y aurait-il une autre façon pour trouver "a" et "b"..?

ha je me doutais qu'alainpaul le roi du polynôme et mathafou le roi de la géométrie allaient se déchaîner sur ce coup
bienvenue les gars !

Bonsoir

Guimzo me semble être un(e) spécialiste des questions posées de façon tellement peu rigoureuse quelles n'ont pas de réponse ! :

Bonsoir,
Pour la question :
Une personne saurait-elle si c'est possible,de calculer ( sous forme d'opérations élémentaires, du style addition, soustraction, carré, racine carré, ln, etc etc...) la partie décimale d'une racine carré, c'est à dire tous les chiffres derrière la virgule...?
Exemple :
sqrt(19) égal à peu près 4.3588989435406736
Existe t-il une méthode qui permette de trouver la partie décimale, c'est à dire "0.3588989435406736.."...?

Oui il existe une méthode bien utile pour l'époque sans calculatrice ^^

Bonjour,

N'ajoutons pas à l'imprécision et revenons à la question posée,
il est nécessaire de donner précisément les points par lesquels passent la fonction f(x).

Nous avons une fonction non cyclique,par exemple f telle que
,
les points 1,2,3,4  sont aussi des points fixes de g quatrième itérée de f.

Nous pourrions ici proposer la fonction d'interpolation suivante:



Remarque:
les points ajoutés {c,f(c)} ,{d,f(d)} sont d'une nature différente de celle
des points {a,f(a)} ,{b,f(b)} ,


Alain

Bonjour,

Voici la fonction en question et le probléme c'est que je n'arrive pas à trouver une fonction g(x) qui couperait f(x) au moins en un des points cherchés de coordonnées (3;8) ou (8;3) :

f(x) = ((21 - sqrt(21*x+1) )^2 - 1 ) / 21




Les autres valeurs de la courbe qui sont remarquables sont :

f(40) = 3
et
f(55) = 8

peut être est il plus remarquable encore que quel que soit a 19 on a f(a) = b et f(b) = a
"et même un peu plus" (la limite est 20.952...)

en d'autre termes f(3) = 8 et f(8) = 3 a pour seul et unique intérêt que ce couple de valeurs est formé de valeurs toutes deux entières

quant à la gageure de trouver une fonction g telle que les intersections de f et g soient définies comme étant tous les points à coordonnées entières de f et uniquement ça ???

Bonjour,

Merci @Math pour ta réponse ; en fait le sujet est une façon géométrique de considérer un probléme d'équation Diophantienne, écrit dans un autre post :

" Équation Diophantienne "

C'est à dire résoudre l'équation Diophantienne :

21y = x² - 1

Le probléme est de pouvoir trouver les solutions non triviales telles que [20, 19], [22, 23]...

Cela équivalait me semble t-il en termes géométriques à trouver ces points de f(x) tel que f(a) = b et f(b) = a
Mais sans doute, il faudrait rajouter une condition de plus, puisqu'il s'agit de nombres entiers...

beurk....
remplacer un problème "simple" en nombres entiers par un problème inextricable en nombres réels n'est ici qu'une impasse totale.
surtout si on traduit de travers le problème (par l'utilisation d'une racine carrée qui n'a rien à faire là)

la solution vient des congruences et de l'équation x² 1 [21]
ici il est facile (10 essais à faire) de trouver en balayant les valeurs possibles de 1 à 10 de trouver les 4 solutions de cette équation qui sont
x 1 [21] (triviale) et
x 8 [21]

en posant x = 21t 1 il vient x² - 1 = 21y = (21t 1)² - 1 = 21²t² 221t
et donc une première famile de solutions
x = 21t 1, y = 21t² 2t (t parcourant )

l'autre famille de solutions est x = 21t 8
21y = x² - 1 = (21t 8)² - 1 = 21²t² 221t8 + 63 et docn y = 21t² 16t + 3

et la deuxième famille de solutions
x = 21t 8, y = 21t² 16t + 3

on a avec ces deux familles de solutions en faisant t balayer tout , l'intégralité de toutes les solutions de l'équation dans


si les coefficients étaient "plus compliqués" la méthode est la même pour résoudre ay = bx² + c
on est amené à résoudre bx² + c 0 [a]
qu'on multiplie par l'inverse de b modulo a pour se ramener à x² c' [a]
l'obtention systématique des solutions de cette équation se fait par la décomposition en nombres premiers de a
la résolution de x² c' [p] pour chaque diviseur premier de a
et l'utilisation du théorème des restes chinois pour les combiner et obtenir toutes les solutions de x² c' [a]
ceci (cette méthode générale) étant simplifié dans le cas où b est 1, c = -1 et a "petit" (ay = x² - 1)
il suffit juste alors d'essayer les valeurs de 1 à a/2 pour obtenir les solutions de x² 1 [a]
on reporte ensuite pour obtenir y.

Moralité :
trois topics différents pour ce problème et rien de valable dans tout ça pour le problème lui-même
sauf la réponse de Glapion dans le problème (le seul) "à l'origine de ce fatras"
dont la première réponse est formellement identique à la mienne (-1 20 [21] et -8 13 [21])

tout simplement parce qu'au lieu de poser le problème tel qu'il est tu en poses à chaque fois un autre qui n'a rien à voir
sous le seul prétexte que dans ton esprit, toi, tu y vois un lien ...
alors que ces autres problèmes différents, bien entendu on ne peut que répondre "à côté de la plaque" ... puisqu'on n'a pas du tout le contexte de départ.

jeveuxbientaider disait :

Et je confirme

Bon après-midi,

% d'accord.


Impossible de suivre un problème polymorphe,fuyant et
polysémique.

CREUSER UNE CHOSE A LA FOIS.


Une boucle:f(a)=b ,f(b)=c ,f(c)=a ,
OU une congruence,
OU une fonction avec points fixes.


alain

Bonjour,

Merci pour vos réponses et désolé pour mes innombrables digressions...
Par contre comment obtient-on le "8" dans  (-1 20 [21] et -8 13 [21]) .......?

Pour l'équation donc, il n'y à aucune possibilité de trouver une autre fonction g(x) qui couperait la fonction f(x) aux points cherchés...?

comme ni la fonction f(x) ne représente réellement le problème (elle ne le représente que pour 0 < x < 19, à cause de l'artifice de la racine carrée, qui est du même genre que dire qu'un cercle x² + y² = 1 est représenté par l'équation , ici on a une parabole 21y = x² - 1)
ni une "fonction qui ne passe que par des points entiers" n'existe (tout au moins décrite par une formule), je répète que ce truc est une impasse pour le problème réellement posé (résoudre 21y = x² - 1)

quant au "8" dans le x² 1 [21] (c'est de là qu'il vient) c'est encore du même genre que ton obsession de "formule explicite" : ça n'existe pas
il est obtenu par un algorithme

soit un algorithme brutal qui consiste à essayer systématiquement
x = 1 OK, solution
x = 2 NOK 4 1 [21]
x = 3 NOK 9 1 [21]
x = 4 NOK ...
...
x = 8 OK, solution 64 = 3*21 + 1 1 [21]
x = 9 NOK ...
x = 10 NOK
x = 11 identique à x = 10 (car 11+10 = 21 et inutile de poursuivre après 21/2

soit via la décomposition de a en nombres premiers si a est assez grand mais pas trop
(si a est énorme la décomposition de a en nombres premiers est, sauf coup de bol, sans espoir avec les connaissances actuelles)

ici 21 = 3*7

et les seules solutions de x² 1 [3] et de x² 1 [7] sont x 1 (théorème)
en combinant ces 4 valeurs par le théorème des restes chinois on obtient :
x 135 171 [37]
les étant indépendants (donc 4 solutions)
les facteurs "sortis du chapeau" 5 et 1 ne le sont pas : ils sont obtenus par l'algorithme d'Euclide dans la résolution de 3x + 7y = 1 :
qui fournit 35 1 [7] ("inverse de 3 modulo 7") et 71 1 [3]

ce qui donne après simplification de 157 :
-22, -8, +8, +22
et, réduit modulo 21 (22 1) les 4 solutions 1 et 8

on voit bien que si a est suffisamment petit cette usine à gaz est remplacée efficacement par l'algorithme brutal d'essais systématiques !

soit un algorithme plus subtil qu'il faudrait utiliser si "a" de ay = x² - b est "assez grand" et b 1 :

algorithme de Tonelli-Shanks (chercher sur Internet)
qui débute par un essai au hasard (au véritable hasard) de nombres dont chaque essai suivant divise par 2 la probabilité d'échec, et donc "très rapidement" obtient un point de départ pour la suite du calcul.
(encore un truc qui va te choquer je sens bien, avec ton obsession des "formules explicites"... )

Bonsoir,

Merci @Math pour tes remarques...
Ceci dit, pour généraliser, je pense que au moins toutes les équations Diophantiennes de degré 2 et à 2 inconnues peuvent être ramenées à une fonction donnée en exprimant donc y par rapport à x et que les solutions de l'équation Diophantienne seraient les points d'intersection d'une fonction cyclique, du style cosinus, sinus... avec la fonction Diophantienne.

Je vais revenir vous donner un exemple

(suite)

Cette fonction cosinus,sinus solution de l'équation Diophantienne serait elle même un rapport du

sqrt(17) / sqrt(5)

rèves ...

Bonsoir,

Pour le rapport, c'est en fait en fonction de 2 * sqrt(x²+1)
Je reviendrais quand j'aurai trouvé la solution, c'est à dire une fonction cosinus sinus qui couperait la courbe de l'équation Diophantienne, en des points solution...

Bonsoir,


En considérant des formes itérées 'stables',telle que la fonction f(y) à coefficients entiers
  
dont les itérées f(f(x)),f^[n](y)

Les coefficients A et B restent entiers et le radical ne change pas ,d'où le qualificatif
'stable' utilisé .


Une identification {a,b,c}={1,21,0} nous donne la fonction génératrice:

nous pouvons partir de y = 0 ou y = 19 et obtenir les suites:
f(0),f(f(0)) ... ,   0,23, 88,195,344
f(19),f(f(19))...,  19,80,183,328.,..
toute valeur v contenue dans l'une de ces 2 suites convient :21v+1 = un carré  


Alain

Bonjour,

@AlainPaul, cela a l'air d'être très intéressant votre développement, puisqu'effectivement, la fonction qui m'intéresse est une version similaire :

f(x) = x + 21 - 2*sqrt(21x+1)

Merci donc pour vos remarques, que je vais lire avec beaucoup d'attention...
Je vous dirais ce qu'il en est ; sachant que le but de tout ça, c'est de trouver une fonction g(x) qui couperait la courbe de f(x) en des points solutions de l'équation Diophantienne se rapportant à f(x).
Merci beaucoup.
Je pense que je vous mettrai à la confidence du but ultime de "tout ça", si vous me le permettez...

salut

pour compléter le graphique de mathafou .... et voir plus loin ...

Bonjour,

Merci @carpe pour ton graphique.
Par rapport à notre fonction : f(x) = x + 21 - 2*sqrt(21x+1) les intersections des courbes sur le graphique, permettent-elles de trouver l'unique point ayant des coordonnées entières satisfaisant la condition f(a) = b et f(b) = a...?

Bonsoir Carpediem,


Je trouve ton graphique très chouette,ce logiciel est-il disponible?



Alain

il faudrait savoir ce qu'on choisit comme fonction f !!!

si on prend f(x) = x² - 1 : ma figure initiale suite à proposition de Glapion
ou bien "la vraie" qui est maintenant écrite f(x) = x + 21 - 2*sqrt(21x+1),
(après avoir été f(x) = ((21 - sqrt(21*x+1) )^2 - 1 ) / 21 mais c'est "presque pareil" hein ...)


comme déja dit "la vraie" est un truc sans aucun rapport avec le problème (points à coordonnées entières)
et que pour toute valeur de a < 20 on a f(a) = b et f(b) = a
(une courbe c'est dans , pas dans )

ceci est dû au fait que l'utilisation intempestive de racines carrées fait que f(f(x)) est en fait confondue avec un segment de droite OA pour x < 20.952



et que si on faisait un peu plus attention aux racines carrées ce serait même vrai pour tout x du domaine de définition. (la branche courbe de f(f(x)) est en fait une illusion due au signe des racines carrées)

ça va dépendre de la fonction ...


posons f(x) = 21x + 1



bof je ne vois rien de remarquable ...

???

Bonjour,

Le rapport entre la fonction f(x) et l'équation Diophantienne, pour ceux qui ont taxé mes posts de sujets "polymorphes", est un seul et même rapport, qui se rapporte en réalité à une nouvelle méthode de factorisation des nombres semi-premiers.

Nouvelle méthode parce qu'en effet, loin de l'adage qui voudrait que pour mieux régner sur un probléme de math, il faudrait diviser celui-ci, la méthode au contraire affirme que pour mieux régner sur un probléme de Math, il faut le multiplier !

La méthode se base donc sur le fait de "MULTIPLIER".
Voilà où je veux en venir : Que pour factoriser un nombre semi-premier, il y à une méthode alternative à tous les algorithmes classiques et cette méthode consiste à MULTIPLIER le nombre semi-premier de départ pour mieux le factoriser.

Regardez de plus près :

Soit p un nombre semi-premier tel que p = m * n avec 2 < m < n


Classiquement pour factoriser p, on cherche à résoudre l'équation x²  y² = p, avec l'UNIQUE SOLUTION non triviale.

Mais si on MULTIPLIE p par un autre NOMBRE MULTIPLICATEUR, il se passe quoi...?
Prenons par exemple un autre nombre semi-premier k = a * b avec a et b différents de m et n.

Si on MULTIPLIE p par k on obtient donc :

p * k = m * n * a * b

ou p * k = (m*a) * (n*b)

ou p * k = (n*a) * (m*b)

ou p * k = (n*a*b) * (m)

etc etc,
Il y à donc plusieurs façons d'écrire (p * k) ce qui veut dire plus de possibilités de factoriser le p de départ.

Exemple :

Il faut factoriser le nombre semi-premier p = 351163

Notre démarche consistera à trouver un MULTIPLICATEUR qui nous aidera à factoriser plus facilement 351163 et ce MULTIPLICATEUR peut être 8.


Nous allons donc multiplier 351163 par 8 ainsi 351163 * 8 = 2809304

Le but maintenant est de factoriser 2809304 et la factorisation de 2809304 est la factorisation la plus facile qu'on retrouve chez plein de nombres :

([sqrt(p)]+1)² - p

Effectivement on peut factoriser 2809304 de cette manière :


([sqrt(2809304)]+1)² - 2809304

Ainsi en factorisant 2809304 on a aussi factorisé notre p de départ qui n'était qu'un multiple de (p*k).

Ainsi l'équation Diophantienne et la fonction de f(x) ne sont en réalité que la façon qui permet de trouver le "8" dans le cas de 351163, c'est à dire la façon pour trouver les MULTIPLICATEURS qui permettent de factoriser facilement un semi-premier donné...

pff

Bonjour,

"je ne vois aucune factorisation .... puisqu'on a une différence ...."

Bein si la Factorisation est bien :

([sqrt(2809304)]+1)² - 2809304

Puisque ([sqrt(2809304)]+1)² - 2809304 = 3025 c'est à dire le carré de 55

Donc 2809304 = ([sqrt(2809304)]+1)² - 55²

C'est à dire (([sqrt(2809304)]+1) + 55 ) * ([sqrt(2809304)]+1) - 55 )

C'est à dire 1732 * 1622

Par extension un de ces facteurs de 2809304 permet de factoriser 351163.

(suite)

Par extension, voici la Formule qui permettrait si on la résout de factoriser n'importe quel nombre semi-premier :




Résoudre F(x) = 1 en nombres entiers, c'est à dire trouver au moins un MULTIPLICATEUR, comme le 8 pour 351163 c'est factoriser n'importe quel nombre semi-premier.

tu peux essayer ta méthode avec
factoriser 71641520761751435455133616475667090434063332228247871795429

un algorithme utilisant les courbes elliptiques etc, écrit en Java (dispo sur le net) mets 13 secondes à le factoriser,

ou 7293469445285646172092483905177589838606665884410340391954917800303813280275279
(15 minutes)

voyons si tu fais mieux ...
et ensuite tu pourras t'attaquer à :

"Once you have solved the above challenges, to really convince me you have found an efficient factoring algorithm, please do the following: "
(site de challenges RSA)

ces "tout petits nombres" ayant pour but d'éliminer de la compétition les petits malins qui proposeraient des méthodes moins efficaces que les méthodes connues ...

Bonjour,

@Math lol : )
Bien sûr que le but des Mathématiques et de la science en général c'est toujours de CHERCHER des solutions et parfois s'écarter des sentiers battus...
Peut-on en vouloir à une personne de chercher une solution à un probléme..?
C'est dommage, la science devrait être un partage, mais certains donnent l'impression quelque fois que nul à par eux n'auraient le droit de réfléchir sur un probléme....

Vraiment dommage, à chaque fois qu'on essaye de faire quelque chose, on est taxé de "petit malin" ou autre... N'aurait-on pas le droit de s'intéresser à un probléme donné..?

Cela me rappelle la cruelle phrase sur le fronton de l'école Platonicienne : " Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre "

Tout le contraire de son Maître, qui lui dirait, que tous les hommes ont la science en eux, tous les hommes ont le droit de réfléchir sur un probléme de science ou autre, et au final :

Que tous entrent ici, même ceux qui ne sont pas géomètres !!

bien sûr que si, il faut chercher des pistes nouvelles... ce n'était pas ce que je voulais dire (que c'est inutile) mais qu'il faut mettre ses idées en face de la réalité aussi ...

une méthode de factorisation qu'on essaye sur des (très) petits nombres, dont on connait à priori la solution en plus, nécessite d'être approfondie pour savoir si elle gagne quelque chose ou si, en réalité, elle est finalement moins efficace...

si "trouver le facteur (8 dans cet exemple)" est finalement aussi compliqué que directement factoriser, on n'a rien gagné du tout.

(suite)

Au final, bien sûr que le but du jeu est de factoriser n'importe quel semi-premier et même les nombres semi-premiers RSA.

Mais sache que ni les Math ni la science ne sont l'apanage de quelques personnes, tous les êtres humains ont le droit de réfléchir sur un probléme de science et c'est là le 1er principe de la science ...

Pour la méthode dite de Multiplication, il me semble que c'est une voie intéressante,car multiplier un nombre c'est augmenter le nombre de façons de pouvoir écrire le nombre et donc de le factoriser.

(suite)

L'ordi tourne à chercher un MULTIPLICATEUR pour factoriser le nombre semi-premier RSA1024, des que ce sera trouvé, je pense que tu auras un autre regard, sur cette méthode ; )

Ceci dit, le probléme revient à résoudre l' équation f(x) = 1 ou d'une certaine autre façon de trouver une équation g(x) qui couperait la courbe f(x) au point tel que f(a) = b et f(b) = a, la solution entière.

F(x) = ( [sqrt(p*x)] + 1 )² - px = 1

Où p est le nombre semi-premier à factoriser.
Et x en fait l'un des nombres multiplicateurs parmi un nombre infini de possibilités.
Faudrait donc résoudre l'équation F(x) = 1 en nombres entiers.

Bonjour,

Sous la pluie ,je reviens avec mon brin de muguet à offrir.

"CHERCHER des solutions et parfois s'écarter des sentiers battus"
voilà ce que souvent,et parfois maladroitement ,j'ai tenté de faire.


Une demande à * Guimzo *

En quelques phrases simples mets nous en évidence l'unité des thèmes présentés.
En partant peut-être de la casse ,en cryptographie,de grands nombres,c'est-à-dire
ici ,la factorisation de nombres issus du produit de deux nombres premiers inconnus
très grands,fais apparaître le lien entre tes différentes interventions.



Amicalement,

Alain

Bonjour et bonne fête du muguet : )

@AlainPaul,
La réponse à ta question est dans le post du 30-04-15 à 19:34.
Mais pour reprendre rapidement :

Soit p un nombre semi-premier qu'il faut factoriser tel que p = m * n avec 2 < m < n.

Si on prend un autre nombre semi-premier dont on connaît les facteurs, par exemple k = a * b avec 2 < a < b et si on multiplie p par k on obtient un autre nombre tel que :

p*k = m * n * a * b

Mais  p * k peut aussi être exprimé sous d'autres formes :

p*k = (m*a) * (n*b)

p*k = (n*a) * (m*b)

p*k = (n*a*b) * m

p*k = (m*a*b) * n

p*k = (m*n*a) * b

p*k = (m*n*b) * a

Ce qui veut dire qu'il y à plusieurs façons d'écrire le produit (p*k) alors qu'à la base il n'existe qu'une et seule façon non triviale d'écrire le produit p = m*n.

Exemple :
Soit le nombre semi-premier p = 21 à factoriser.
Choisissons un autre semi-premier qu'on va multiplier par p ; donc soit k = 143.

(p*k) = 21 * 143
Mais (p*k) peut aussi être exprimé autrement :

(p*k) = 77 * 39

(p*k) = 33 * 91

(p*k) = 273 * 11

(p*k) = 231 * 13

etc...

Des cas intéressants, car ils permettent de factoriser le p de départ.
Donc au lieu de chercher 1 seule et unique solution de pouvoir écrire p sous forme de différence de deux carrés, on a déjà 4 fois plus de possibilités d'écrire (p*k) sous forme de différence de deux carrés :

p = 21 = 5² - 2²  Ce qui est l'unique solution non triviale.

Par contre pour (p*k)on a  :

(p*k) = 502² - 499²

(p*k) = 218² - 211²

(p*k) = 142² - 131²

(p*k) = 122² - 109²

(p*k) = 82² - 61²

(p*k) = 62² - 29²

(p*k) = 58² - 19²

Donc on ne cherche plus l'unique solution d'exprimer p sous forme de différence de deux carrés, mais une des nombreuses possibilités d'écrire (p*k) sous forme de différence de deux carrés.

D'autre part, la façon la plus simple de factoriser un nombre semi-premier sous forme de différence de deux carrés, c'est quand l'UN des carrés est de la forme :


Membre d'un des carrés = ( [sqrt(p)] + 1 )²

Par exemple prenons 143 :
On a bien

( [sqrt(143)] + 1 )² permet de factoriser 143, en effet 143 =  ( [sqrt(143)] + 1 )² - 143

C'est à dire 143 = 12² - 1²

De sorte que pour rendre plus facile la factorisation d'un semi-premier p, c'est à dire pour que l'un des membres carrés qui permettent de factoriser p soit de la forme ( [sqrt(p)] + 1 )² , il suffit donc de trouver un autre semi-premier ou un autre nombre tout simplement qu'on multiplie par p et il en devient que factoriser p revient à factoriser (p*k) sachant que l'un des membres carrés qui permet de factoriser (p*k) est de la forme

( [sqrt(p*k)] + 1 )²

Si nous généralisons on peut écrire qu'il suffit donc de résoudre l'équation :


F(x) = ([sqrt(p*x)]+1)² - px = 1

Où p est le nombre semi-premier à factoriser et x, un multiplicateur qui permet de factoriser (p*x) sous la forme la plus simple.

Pour p = 21.

F(x) = ([sqrt(21*x)]+1)² - 21x = 1

Des solutions possibles pour x sont : {3;8;19;40;55;80;88;119 etc etc...}
C'est à dire les solutions non triviales de l'équation Diophantienne

21y = x² - 1

Ou ce qu'on peut représenter graphiquement par l'intersection de la fonction f(x) = p + x - 2*sqrt(p*x+1) et d'une fonction g(x) sachant qu'il existe un point particulier de Cf tel que f(a) = b et f(b) = a , en coordonnées entières donc.

Bonjour,


Merci pour ton résumé.

Les solutions que nous t'avons proposées donnent les solutions de
l'équation Diophantienne  21y = x² - 1 .

La voie que tu présentes me paraît assez longue,et je ne vois pas bien
le rôle de facteurs de 2 nombres premiers (nombres semi-premiers),




Alain

Bonjour,

@AlainPaul, je n'ai pas compris ta réponse : " le rôle de facteurs de 2 nombres premiers (nombres semi-premiers),  "...?

P.S.: Nombre semi-premier n'est pas un nombre premier mais un nombre qui est le produit de deux nombres premiers...

Par exemple 3 est un nombre premier
Et 7 aussi est un nombre premier

Par conséquent 21 qui est égal à (3 * 7) est un nombre SEMI-premier, puisque c'est le produit de deux nombres premiers.

(suite)

@AlainPaul,
Non, "La voie n'est pas longue", pour résumé ça dit juste au lieu de chercher à factoriser un nombre semi-premier p il vaut mieux chercher à factoriser (p*k), c'est à dire factoriser le produit de p par un autre nombre semi-premier dont on connaît les facteurs.

P= 21
Au lieu de chercher à factoriser 21, il vaut mieux chercher à factoriser par exemple (21*143) ou (21*323) ou (21*15) etc etc etc.
Sachant que 143 = 11*13 sachant que 323= 19 * 17 sachant que 15 = 3 * 5

Parce que factoriser 21 revient à trouver 2 carrés dont la différence est égal à 21, et il n'y à qu'une et une seule solution non triviale.

Alors que factoriser par exemple (21*143) il y à 4 solutions non triviales !

Ou factoriser (21*323) il y à aussi 4 solutions non triviales !
Etc etc etc...

Bonjour,

De même que factoriser 21 est moins difficile ( puisqu'il n'y à qu'une et une seule solution non triviale ) que factoriser (21*143*2537), car en factorisant 7618611, il y à 16 solutions non triviales qui permettent chacune de factoriser 21...