Bonjour,

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on a P(X=0)=P(X=1)=0 et, pour n>1, P(X=n)=(4^n-1-3^n-1)/6^n-1

Salut

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Bonsoir matheux14.
On a

Ah oui

verdurin,

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En fait il s'agit de  la somme de deux lois géométriques indépendantes de paramètre et

Puisque

J'ai sûrement fait une erreur dans mes calculs précédents..

matheux14

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Je n'avais pas pensé au produit de deux fonctions génératrices.
Tu as véritablement trouvé la solution.

Sinon
Et on vérifie sur les petites valeurs avec X=Y+Z, Y et Z indépendantes suivants des lois géométriques de paramètres respectifs 1/2 et 1/3.

On a bien et

verdurin, peux tu partager tes calculs ?

Je n'en ai pas vraiment fait : j'ai demandé à Xcas le développement limité de la fonction en 0 et j'ai remarqué la forme des coefficients que j'ai donné dans mon premier message.
Comme on a t² en facteur il est immédiat que P(X=0)=P(X=1)=0  ( les 2 premiers termes du DSE de G sont nuls ).

Bonsoir  à tous

la bonne réponse est  P(X=k) = -1/2^k-1 +(2/3)^k-1  car la premiere somme est s1 =(1/2) (t/2)ⁿ   et la seconde somme  s2 = (1/3)(2t/3) ⁿ   , ces sommes allant de 0 à plus l'infini et Gx(t)= (1/2) (t/2)ⁿ + (1/3)(2t/3)ⁿ.  on identifie cette expression à t^k+2.P(X=k+2)  du coup
P(X=k+2)=-1/2^k+1 +(2/3)^k+1   et en posant un chgt de variable k+2=j  il vient P(X=j)= -1/2^j-1 +(2/3)^j-1

verdurin j'ai pas vraiment compris pourquoi P(X=0)=P(X=1)=0..

À matheux14.
On a
par définition de la fonction génératrice.
D'un autre côté, comme la fonction est développable en série entière, on a



En identifiant les coefficients des deux expressions il vient



En calculant on trouve

D'une autre façon avec X=U+V où U et V suivent des lois géométriques U1 et V1 sont des événements certains donc X2 aussi.
On en conclu que P(X<2)=0.

Bravo à Verdurin pour sa réponse

Merci beaucoup