Salut

Une fonction f est injective si elle ne prend pas deux fois la même valeur.

On dit qu'elle est bijective si elle obéit à ces deux conditions :

-f ne prend pas deux fois la même valeur

-f prend toutes les valeurs de R

Manu

Bonsoir à tous

manu_du_40>

Effectivement il faut préciser les ensembles d'arrivée et de départ

Plus généralement

"Une application f est bijective si tout élément de l'ensemble d'arrivée (donc des "y") admet un unique antécédent dans l'ensemble de départ (un "x")"

"Une application f est injective si tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent dans l'ensemble de départ"

Bonjour à tous,

En quelle classe se voit la notion de bijectivité ?

Notre prof nous a fait écrire "pour qu'une fonction f admette une fonction réciproque f^-1, il faut que f soit bijective", et quand on lui a tous demandé en coeur ce que signifiait "bijective", il a répondu, tout étonne "ah bon, on ne vous en a pas parlé au collège ?"... Mais il ne nous a finalement rien expliqué, parce que c'est "trop compliqué pour l'instant, vous le verrez plus tard".

Voilà, c'était pour la petite histoire

Donc si quelqu'un peut me renseigner, merci

_{Manu (salut ) tu es en PTSI ?}

Estelle

j'aimerais une reponse rapide pour savoir ce qu'est une fonction surjective et une injective???

*** message déplacé ***

Pour info, j'ai vu la notion de bijectivité/surjectivité/injectivité en première année de prépa

Bonjour

Pour la bijection je comprends que pour tout y il correspond qu'un x, mais pour l'injection je ne comprends pas "au plus un antécédent"

D'accord, merci de ta réponse Buth

salut Kévin

Estelle

Salut Estelle

Pour ma part, j'ai eu des vagues notions de bijectivité qu'en Terminale (S) mais là où j'ai vraiment eu affaire à ça, c'était en sup. Encore une fois, les programmes ont peut-être changé entre temps.

Kaiser

Estelle >> Une fonction bijective c'est une fonction qui assure un unique antécédent. Bon c'est pas très rigoureux mais sur un graphe c'est une fonction qui fait correspondre à chaque ordonnée, une seule abscisse. Genre le cosinus il n'est pas bijectif sur |R mais sur -pi/2 pi/2 si.

C'est possible de m'expliquer l'injection/surjection ?

Kaiser > Ce prof est un petit spécial aussi... la bijection au collège

OK, merci Kévin

Estelle

En language plus mathématique :

(x1;x2)E, si f(x1)=f(x2) x1 = X2

Parce que j'ai l'impression que l'injection se rapproche de la définition d'une fonction qui fait correspondre à tout x un seul réel.

Non ?

Merci Buth

Estelle

ouai donc f(x1)=f(x2) implique que x1=x2 mais la réciproque non ?

Oui, ces trois notions sont liées, l'injectivité signifie que chaque image admet 1 seule ou 0 antécédent

La surjectivité signifie que chaque image admet au moins un antécédent (1,2,3 ou une infinité)

La bijectivité, chaque image admet exactement un seul antécédent

Ca y est j'ai pigé

OK, merci pour ces renseignements, Buth

Estelle

Le fonction cosinus sur |R est surjective ?

la différence n'est pas flagrante au premier coup d'oeil

Mais en pratique, comme une fonction bijective est à la fois surjective et injective, on parle presque toujours d'injectivité et de surjectivité pour démontrer qu'une application est bijective.

Mais c'est loin d'être la méthode la plus pratique

merci pour vos reponses

Une image peut ne pas avoir d'antécédent ? (injection)

Kévin> ce n'est pas possible. En effet, par définition, une image y s'écrit sous la forme f(x), donc x est un antécédent de y.

Heu, en tout cas ce n'est pas contradictoire avec la définition d'une application, qui est que tout x admet un seul y pour image.

Mais parler d'injection/surjection n'a pas de sens si on ne précise pas dans quel intervalle on se place

Exemple : la fonction sinus n'est pas surjective de mais de [-1;1]

Pourtant Buth dit : "'injectivité signifie que chaque image admet 1 seule ou 0 antécédent"

Pour l'exemple de sinus, pourquoi elle n'est pas surjective sur |R ?

50 n'a pas d'antécédent du tout

Si tu veux, on peux dire f est injective si pour tout y, l'équation f(x)=y admet au plus une solution.

Le sinus n'est pas surjectif car, par exemple, tu ne peux pas trouver de réel x tel que sin(x)=2.

Kaiser

Ok pour la surjection, mais pour l'injection pourquoi chaque image admet un seul ou ZERO antécédents ?

A mon tour de poser les questions : une fonction peut elle ne pas être injective ?

heu pardon, question stupide

Tu peux y répondre ?

Bon ça y est, c'est le bazard dans ma tête

Exemple la fonction x--->x²

Elle n'est pas injective de R dans R car 1 admet deux antécédents
ELle n'est pas non plus surjective car -1 n'a aucun antécédent.

Après, le cas "zéro antécédent" est ambigu effectivement

Ouh là je reviens en retard. Non estelle, je suis en MPSI.

Manu

ok

OK, Manu

Estelle

De rien.

Et merci à Kaiser (et aux autres) pour m'avoir corrigé sur la notion de bijectivité. Notre prof nous a expliqué la notion de bijection, surjection et injection rapidement mais il a dit qu'on aura l'occasion d'en reparler en détail dans l'année .

Manu

bonsoir
on parle plutot d'une application injective et surjective
une fct devient application qd l'ensemble de depart est inclus ds son domaine de definition
l'application est injective qd un element de l'ensemble d'arrivee est l'image de au plus un antecedant
(donc soit il est image d'un element unique soit il n'est ps une image)
elle est surjective qd chaque element de l'ens d'arrivee est l'image d'au moins un element de l'ens de depart

*** message déplacé ***

Pour ma part, je t'en prie.

dsl je vien juste de voir la reponse et je vs remercie

*** message déplacé ***

`jour!

La fonction cos sur |R est donc ni surjective ni injective?!  elle est quoi alors