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fonction plynômes de l aide !!
[/sup]32Calcul de sommes :
1) la somme 1 + 2 +....+n
a) déterminer un plynôme P, de degré 2 , vérifiant pour tout x :
p(x+1) -P(x) = x
b) Prouvez l'égalité 1 + 2 + ... + n = p (n+1) - P(1)
En déduire que 1 + 2 + ... + n = (n(n+1)) / 2
2) la somme 1[sup]2 + 2[/sup]2 + .... n [sup]2
a) Déterminer un polyn^me Q , de degré 3, vérifiant pour tout x :
Q(x+1) - Q (x) = x[/sup]2
b) En déduire les égalités :
1[sup]2 + 2[/sup]2 + ... + n[sup]2 = Q (n+1) - Q(1)
puis
1[/sup]2 + 2[sup]2 + ... + n[/sup]2 = (n(n+1)(2n+1)) / 6
3) la somme 1[sup]3 + 2[/sup]3 +... + n[sup]3
En sq'inspirant de la méthode des questions 1) et 2), établir la formule sommatoire 1[/sup]3 + 2[sup]3 + ... + n[/sup]3 = ( (n(n+1)) / 2 )[sup]2
il y a des petites erreurs
pour le 2) c'est au carré et non 12 , 22
pour le 3) c'est au cube et non 13 et 23
Tu cherches un polynôme P de degré 2, il a pour forme générique avec
. Tu peux si tu veux choisir
puisqu'on ne t'en demandes qu'un. Ceci dit, tu calcules en suivant l'énoncé
ce qui donne
. Pour que sur l'ensemble des réels, on ait
, il faut et il suffit que
et
; ainsi, le polynôme
convient.
L'égalité est vraie pour tout
réel, elle est en particulier vraie pour des entiers naturels ; on a donc :
......................
En sommant les termes à gauche il reste
puisque la somme est "téléscopique" (les se simplifient etc ...)
et à droite
. Or
et
, on obtient donc
Pour le reste la méthode est exactement la même
Salut
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