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Niveau première
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fonction trigo

Posté par (invité) 13-12-03 à 18:05

Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide pour cette exo. Merci
pour votre aide


Soit f(x)= sin x / (2+ cos x)

1) determinez l'ensemble de définition et de dérivabilité de f

2) étudiez les variations de f sur [0;pi]

3) étudiez la parité de f sur son ensemble de définition
     en déduire les variations de f sur [-pi;+pi]

4) simplifiez l'expression de f(x+2pi)

Posté par tiou (invité)re : fonction trigo 13-12-03 à 18:22

1)
f(x) = (sin x) / (2+cos x)
f(x) est définie si cos x   -2
toujours vrai
Donc f est définie sur   et dérivable sur

Posté par (invité)re : fonction trigo 13-12-03 à 18:36

  1)
f(x) = (sin x) / (2+cos x)
f(x) est définie si cos x -2
toujours vrai
Donc f est définie sur et dérivable sur .

2)
f'(x) = [cos x (2+cos x) - sin x(-sin x)] / (2+cos x)²
f'(x) = (2cos x + cos² x + sin² x) / (2+cos x)²
sachant que cos² x + sin² x = 1 :
f'(x) = (2cos x) / (2+cos x)²

signe de 2cos x :
2cos x   0
SSI x ]- /2 ;  /2[
donc sur [0 ;  /2[, f'(x) est positif
sur ] /2 ;  [, f'(x) est négatif.

3)
parité de f :
f(-x) = [sin(-x)] / [2+cos(-x)]
f(-x) = [-sin(x)] / [2+cos(x)]
f(-x) = -f(x)
donc f est impaire sur  

La suite plus tard....
a+

Posté par tiou (invité)re : fonction trigo 13-12-03 à 19:00

f est impaire sur   donc elle est centrée en 0.
Donc les variations de f seront :
_ décroissante sur [-;-/2]
_ croissante sur [-/2;0]
_ croissante sur [0;/2]
_ décroissante sur [/2;]

5)
f(x+2) = f(x) car f(x) est périodique sur
[-;]      

Posté par tiou (invité)re : fonction trigo 13-12-03 à 19:13

dsl jai raconté nimporte koi dans le 4)

4)
f(x+2) = f(x) car f(x) est périodique sur .
Pour tout x :
f(x) = f(x)+2k
c.q.f.d

a+  

Posté par tiou (invité)re : fonction trigo 13-12-03 à 21:14

décidemment, je n'y arriverai pas avec cet exo !!!

f'(x) = (2cos x + 1) / (2+cos x)²

signe de 2cos x + 1 :
2cos x + 1   0
2cos x -1
cos x -1/2

f'(x) est positif lorsque x [-2/3 ;
/3]
f'(x) est négatif lorsque x [2/3 ; 4/3]

Donc sur [0 ; ] :
f est croissante sur [0 ; 2/3]
f est décroissante sur [2/3 ; ]

f est impaire (déja prouvé précédemment)
donc elle est centrée en 0.

donc les variations de f sur [- ; ] sont :
_ décroissante sur [- ; -2/3]
_ croissante sur [-2/3 ; 0]
_ croissante sur [0 ; 2/3]
_ décroissante sur [2/3 ; ]

Et apres c bon pour la périodicité...

encore dsl
a+

tiou                 



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