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Fonctions
Bonsoir,
J'ai réalisé l'exercice suivant (Mes réponses sont en bleu, quelqu'un peut-il en vérifier l'exactitude ? D'avance, merci.) :
Un forain met en place une nouvelle attraction.
Il veut déterminer le montant du ticket pour cette attraction.
Le coût journalier en fonction du nombre x de personnes qui utiliseront son attraction est donné par la relation : C(x) = 0,01x2 + x + 500 pour un nombre prévisible d'utilisateurs compris entre 100 et 400.
x représente le nombre de tickets ou le nombre de clients.
Étude du coût
1) En utilisant la calculette, compléter le tableau de valeurs suivant :
| x | 100 | 140 | 180 | 200 | 240 | 280 | 300 | 340 | 360 | 380 | 400 |
| C(x) | 700 | 836 | 1004 | 1100 | 1316 | 1564 | 1700 | 1996 | 2156 | 2324 | 2500 |
2) D'après les valeurs du tableau, que peut-on dire de la variation du coût sur [100 ; 400] ?
D'après les valeurs du tableau, on peut dire que la variation du coût est croissante sur [100 ; 400].
3) Quel est le nom de la courbe représentative du coût ?
Le nom de la courbe représentative du coût est une droite.
4) Décomposer la fonction C(x) en deux fonctions f et g, f étant une fonction de la forme ax2 et g une fonction affine.
f(x) = ax2 = 0,01x2
g(x) = ax + b = x + 500
5) Compléter le tableau suivant concernant les variations de C, f et g. La variation du coût déduite du tableau de valeurs du 2) est-elle confirmée ?
| Fonctions | Variations sur [100 ; 400] |
| x2 | 10000 croissante 160000 |
| f(x) = 0,01x2 | 100 croissante 1600 |
| g(x) = x + 500 | 600 croissante 900 |
| C(x) = f(x) + g(x) | 700 croissante 2500 |
Étude du bénéfice
Il envisage de vendre le ticket 8€.
6) Calculer la recette pour 100, 200 et 400 tickets vendus par jour.
100 × 8 = 800€
200 × 8 = 1600€
400 × 8 = 3200€
7) En utilisant le tableau de valeur du 2) et les résultats précédents, calculer le bénéfice pour 100, 200 et 400 clients.
Rappel : Bénéfice = Recette - Coût soit B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = 8x - (0,01x2 + x + 500)
B(100) = 8 × 100 - (0,01 × 1002 + 100 + 500) = 100
B(200) = 8 × 200 - (0,01 × 2002 + 200 + 500) = 500
B(400) = 8 × 400 - (0,01 × 4002 + 400 + 500) = 700
8) Exprimer la recette R en fonction du nombre x de tickets vendus par jour.
R(x) = 8x
9) Déterminer le bénéfice pour 200 et 300 clients.
Les courbes représentatives de la recette et du coût sont jointes à la fin de ce sujet.
Le bénéfice pour :
- 200 clients est de 500€ (1600 - 1100 = 500)
- 300 clients est de 700€ (2400 - 1700 = 700)
10) Montrer que B(x) = -0,01x2 + 7x - 500 puis vérifier les valeurs des bénéfices calculés à la question 7) en utilisant l'expression de B(x).
B(x) = R(x) - C(x)
B(x) = 8x - (0,01x2 + x + 500)
B(x) = - 0,01x2 + 8x - x - 500
B(x) = - 0,01x2 + 7x - 500
11) Déterminer l'extremum de la fonction B(x) puis dresser le tableau de variation de B(x) sur [100 ; 400].
xs = - b / 2a = - 7 / 2 × (- 0,01) = - 7 / - 0,02 = 350
| x | 100 350 400 |
| B(x) | 100 croissante 725 décroissante 700 |
B(100) = - 0,01 × 1002 + 7 × 100 - 500 = 100
B(350) = - 0,01 × 3502 + 7 × 350 - 500 = 725
B(400) = - 0,01 × 4002 + 7 × 400 - 500 = 700
12) Pour combien de clients journaliers aura-t-on un bénéfice maximum ? Quel sera ce bénéfice ?
Pour 350 clients journaliers, on aura un bénéfice maximum de 725€.
bonsoir
3) Quel est le nom de la courbe représentative du coût ?
Le nom de la courbe représentative du coût est une droite
Cet exercice comporte une seconde partie que je suis actuellement en train d'effectuer.
Puis-je la poster sur ce sujet ? Ou faut-il que j'en créé un nouveau ?
Bonsoir,
J'ai commencé la seconde partie de l'exercice. Quelqu'un peut-il vérifier ce que j'ai déjà fait s'il-vous-plaît ? (Mes réponses sont en bleu.)
Le forain veut déterminer le coût unitaire, c'est-à-dire le coût pour un client.
Le coût unitaire CU se calcule en appliquant : CU(x) = C(x) / x avec x ≠ 0
1) Montrer que : CU(x) = 500 / x + 0,01x + 1
CU(x) = C(x) / x
CU(x) = 0,01x2 + x + 500 / x
CU(x) = 0,01x2 / x + x / x + 500 / x
CU(x) = 0,01x + 1 + 500 / x
CU(x) = 500 / x + 0,01x + 1
2) Calculer les coûts unitaires pour 100, 200 et 400 clients.
CU(100) = 500 / 100 + 0,01 × 100 + 1 = 7
CU(200) = 500 / 200 + 0,01 × 200 + 1 = 5,50
CU(400) = 500 / 400 + 0,01 × 400 + 1 = 6,25
3) Donner en justifiant la variation de la fonction f, quel est le nom de sa courbe représentative ?
Le nom de sa courbe représentative est une droite.
| x | 100 400 |
| Variation de f | 5 décroissante 1,25 |
4) Donner en justifiant la variation de la fonction g, quel est le nom de sa courbe représentative ?
Le nom de sa courbe représentative est une droite.
| x | 100 400 |
| Variation de g | 2 croissante 5 |
5) D'après les variations de f et g, donner si possible la variation du coût unitaire. Justifier.
La courbe représentative du coût unitaire est jointe à la fin de ce sujet sur [100 ; 400]
6) Déterminer graphiquement le nombre de clients en arrondissant à la dizaine la plus proche qui donne un coût unitaire inférieur à 6€.
7) Déterminer graphiquement le nombre de clients pour lequel le coût unitaire est minimum. Quel est ce coût ?
Pour déterminer algébriquement le nombre de clients pour lequel le coût est minimum, on utilise la fonction dérivée du coût unitaire : CU'(x) = - 500 / x2 + 0,01
Pour connaître l'extremum d'une fonction, on doit résoudre CU'(x) = 0.
8) Résoudre CU'(x) = 0 et vérifier la valeur trouvée au 7).
9) Conclure en expliquant pourquoi le choix d'un prix du ticket à 8€ est judicieux.
kenavo27kenavo27
si la seconde partie est indépendante, alors il te faut créer un autre topic
La seconde partie est la suite de la première.
3) Donner en justifiant la variation de la fonction f, quel est le nom de sa courbe représentative ?
Le nom de sa courbe représentative est une droite.
non
Lorsque je fais un tableau de valeurs sur [100 ; 400], je constate que la variation de f(x) ne fait que de décroître...
Vous avez raison. Le nom de sa courbe représentative est une hyperbole.
Mon devoir est à rendre le plus tôt possible mais nous continuerons, si vous le voulez bien, quand vous serez disponible.
Bonjour
Dans la question 1 de la deuxième partie, c'est tout faux : il manque des tas de () pour que les = soient vraiment des =
Qui est f ? La même que dans la partie 1 ou donnée par f(x) =500/x ?
Dans le premier cas sa courbe est une parabole, dans le second cas une hyperbole
Dans la question 1 de la deuxième partie, c'est tout faux : il manque des tas de () pour que les = soient vraiment des =
CU = C(x) / x
CU = (0,01x2 + x + 500) / x
CU = (0,01x2 / x) + (x/x) + (500/x)
CU = (500/x) + 0,01x + 1
Comme ci-dessous, est-ce juste ?
cette fois-ci, c'est bien (en fait les seules absolument indispensables sont celles de la deuxième ligne, à la troisième et quatrième ligne, elles font double emploi avec les règles de priorités dans les calculs, mais ce n'est pas faux de les laisser, mieux vaut un peu trop que pas assez)
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