moi même en début de première S et après avoir ait le graphique, je ne vois pas comment prouver la symétrie, je n'ai pas encore vus comment faire...

dsl

Bonjour jetset,

Le symétrique d'un point de coordonnées (x,y) par rapport à la première bissectrice est (y,x).

Donc il suffit de montrer que tout point de Cf est par la symétrie d'axe la première bissectrice un point de Cg et vice versa.

Autrement dit :

soit M un point de Cf de coordonnées (x,f(x)) le point symétrique de de M par rapport à la première bissectrice est (f(x),x)

Intéressons nous à l'image de l'abscisse f(x) par g on a donc g(f(x))=x donc le point (f(x),x) appartient à Cg.
(on vient de montrer que l'image de Cf par la symétrie d'axe la première bissectrice est contenue dans Cg sans le dire )
Reste à faire l'inclusion inverse sans le dire.

Salut

Avec les fonctions paires impaires c'est possibles???

Je propose ce qui suit:

Soit un point M d'abscisse X sur la courbe représentant f(x), on a: M(X ; X²+2X)

Le symétrique de M' par rapport à la droite y = x est M'(X²+2X ; X)  (ordonnée et abscisse croisées par rapport à M)

Vérifions si M' est sur  la courbe représentant g(x)

g(X²+2X) = -1 + rac(1+X²+2X) = -1 + rac((X+1)²) = -1 + X + 1 = X

et donc M' est bien sur  la courbe représentant g(x).

Donc le symétrique M' par rapport à la droite d'équation y = x d'un point M quelconque sur la courbe représentant f(x) se trouve sur la courbe représentant g(x).
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On fait la même démo dans l'autre sens.
Donc on montre que : Le symétrique M par rapport à la droite d'équation y = x d'un point M' quelconque sur la courbe représentant g(x) se trouve sur la courbe représentant f(x).
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On conclut alors les graphes des fonctions f et g sont symétriques par rapport à y=x

Je n'avais pas vu la réponse de dad97, nos idées se rejoignent.

Merci à dad97 et à J-P. Vos réponses sont fort interessantes et pour tout dire astucieuses.
Néanmoins, pour aller au fond des choses, peut-on dire aussi aisément et sans avoir à le démontrer que des points symétriques par rapport à la première bissectrice ont des coordonnées inversées (x,y) et (y,x)?

Je sais que je suis pointilleux mais...

En tout cas encore une fois, merci.

exuser mon ignorance mais qu'est ce que "rac" ??

rac pour racine carrée

Réponse à la question de jetset postée le posté le 21/09/2004 à 21:24

Si on veut vraiment le démontrer avec force détail, on peut faire ce qui suit (il y a plus direct certainement).
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La droite en rouge est la première bissectrice des axes (équation y = x)

Soit M(X ; Y) un point du plan et M' son symétrique par rapport à la droite d'équation y = x.

On a par hypothèse: MB = BM' et angle(MBA) = angle(M'BA) = 90°

Les triangles ABM et ABM' sont isométriques (AB commun et voir ligne précédente).
-> on a AM' = AM  (1)

angle(AOC) = 45° (puisque A est sur la bissectrice des axes).
angle(OCA) = 90°
Dans tout triangle, la somme des angles = 180° ->
Dans le triangle AOC: angle(AOC) + angle(OCA) + angle(OAC) = 180°
45° + 90° + angle(OAC) = 180°
angle(OAC) = 45°
->  angle(OAC) = angle(AOC) et le triangle OCA est isocèle en C
-> OC = AC
On a aussi OC = AE (voir dessin)
-> AE = AC (2)

(1) + (2) ->
AM' + AE = AM + AC
EM' = MC
Mais MC = Y (ordonnée de M)
et EM' est l'abscisse de M'
-> L'abscisse de M' est égale à Y.   (3)

FM = EA = OC
or on a montré que OC = AC

-> FM = AC
et comme AC = M'D ->
FM = M'D
Mais FM est l'abscisse de M -> FM = X
et M'D est l'ordonnée de M'
-> L'ordonnée de M' est égale à X   (4)

(3) et (4) -> M'(Y ; X)

Donc le symétrique d'un point M(X ; Y) du plan est le point M'(Y ; X)
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Sauf distraction.  

Riche! Vraiment splendide! J'aime beaucoup les détails. J'ai lu une première fois et là, je pense qu'il n'y a plus d'ombre.
J'imprime quand même pour bien regarder ça.

Merci beaucoup avec une mention spéciale pour le toujours brillant J-P !