Salut chiquilla59

1.a.
On sait que la fonction cos est definie sur R. f est donc definie sur R privé des valeurs qui annumlent le denominateur.
Le cosinus s'annule pour pi/2 modulo pi donc pour pi/2+kpi avec k entier relatif
d'ou f definie sur R- { /2 + k ; k appartenant à Z }

1.b.
f(x+2pi)=f(x) (evident car cos est 2pi periodique)
donc f est 2pi periodique.

1.c.
f(-x)=f(x) car cos(-x)=cos(x), cos est paire
donc f est paire.

2.a.
La limite de f en pi/2 est +oo ou -oo suivant qu'on arrive des valeurs plus grandes que pi/2 ou plus petite.
Graphiquement, cela correspond à une asymptote verticale d'equation x=pi/2.

2.b.
Utilises la formule d'une derivée d'un quotient (u/v)'.

2.c.
On peut etudier f sur [-pi,pi] car f est 2pi periodique.
Or f est aussi paire donc on peut l'etudier sur un intervalle d'amplitude pi
donc on va etudier f sur ]-pi/2,pi/2[ qu'on note I.

Sur I, on a:
cos² x>0
(1+2 cos² x )>0
donc le signe de f'(x) depend du signe de -sin(x).
Sur [0,pi/2[, sin est positif donc -sin est negatif et f'(x)<0
Sur ]-pi/2,0], sin est negatif donc -sin est positif et f'(x)>0

2.d.
x      -pi/2                  0                      pi/2
-----------------------------------------------------------
f'(x)    ||        +                        -          ||
------------------------------------------------------------
f        ||    croissante     1      decroissante      ||

je te laisse mettre les limites.

3.
Cela revient à resoudre f(x)=0 sur I.

4.
A partir du tableau de variation et des A et B qui vont t'aider à tracer (C), tu peux tracer facilement (C).

Voila sauf erreur de ma part

Joelz