Soit un triangle équilatéral ABC de côté 10 et un rectangle MNPQ tel que M et N sont sur le segment [BC] P sur le segnat [AC] et Q sur le segment [AB].
On pose BM= x

1)Pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du rectangle MNPQ est-elle maximale?

2)Quelles sont les dimensions dur ectangle d'aire maximale?


Aidez sil vs plé mm si c juste d idées oud ptits trucs

*** message déplacé ***

salut
le mieux, sur ta feuille, FAIS un schema :
ca t'aidera a visualiser l'exo.

BM=x
d'ou BQ*cos(60°)=BM
d'ou BQ=2x

ET QM/BQ=sin(60°)=(rac(3))/2
d'ou QM=...
ou utilisation du theoreme de Pythagore.

pour connaitre MN(ou QP) 2 possibilites :
QP par theoreme de Thales car (QP)//(BC)

ou pour MN :

la figure admet un axe de symetrie qui est la mediatrice de [BC]
d'ou MN=BC-2*BM=10-2x
d'ou BQ*MN=...
qui doit etre l'equation d'une parabole de terme ax^2+bx+c avec a negatif...
le maximum est x=... (formule dans ton cours sur la lecon trinome...)

les dimensions, a remplacer x dans BQ et MN

a completer et verifier tout ca !!!

*** message déplacé ***

jcomprend pa comment tu trouve que a est négatif é comment on justifie que ax^2+bx+c est égal à QM+BQ+(BQ*MN)
répodn moi  seplé!merci

salut
tu dois completer les ...
avec les indications ce doit etre facile.

mais bon, on va reprendre.
BMQ est rectangle en M.
on a cos(angle(MBQ))=BM/BQ=x/BQ
comme un a triangle equilateral angle(MBQ)=60°
donc le cosinus de cet angle est 1/2
donc BQ=2*x
BQ ne sert pas grand chose pour l'instant c'est juste pour plus tard. C'est une valeur qui va nou s permettre de calculer QM et MN qui sont primordiales
pour le calcul de l'aire du rectangle.

QM=?

BQM est rectangle en M d'apres theoreme de Pythagore :
BM^2+QM^2=BQ^2
donc x^2+QM^2=(2x)^2=4x^2
donc QM^2=3x^2
QM>=0 donc QM=x*rac(3)

remarque : on aurait pu aller plus vite l'utilisation
de tan(60°) nous permettait directement de connaitre QM a partir de BM...

MN=?
MN=QP car MNPQ est un rectangle
on va s'occuper de QP.
(QP)//(BC) A,Q,B sont alignes et A,P,C sont alignes.
theoreme de Thales :

AQ/AB=QP/BC
AB=BC car ABC equilateral donc AQ=QP
AQ=AB-BQ=10-2x
donc QP=10-2x=MN

remarque : la mediatrice de [BC] est ace de symetrie de
ABC.
la mediatrice de [MN] est axe de symetrie de MNPQ.
les 2 axes sont paralleles car perpendiculaires a (BC).
SI les 2 axes ne sont pas confondus :
le symetrique de Q par rapport a l'axe de symetrie
du rectangle est P.
comme Q est sur (AB) le symetrique de Q par rapport a l'axe de symtrie du triangle ABC est sur (AC).
comme les 2 axes ne sont pas confondus P n'est pas sur (AC).
Ce qui est impossible donc les 2 axes sont confondus.
consequence : la figure admete un axe de symetrie
donc BM=NC
MN=BC-BM-NC=10-2x.


aire du rectangle MN*QM=(10-2x)*x*(rac(3))
donc MN*QM=-2*x^2*rac(3)+10*x*rac(3)
on voit bien que l'aire est de la forme ax^2+bx+c
avec c=0 b=10*rac(3) a=-2*rac(3)

c'est l'expression d'une parabole comme a<0 elle admet un maximum. Ce maximum est son sommet.
calcul du sommet pour x=-b/2a=5/2
les dimensions du rectangle :
remplace x par 5/2 les expressions de QP et QM...
A VERIFIER TOUT CA !!!

mais té sur ke ta reponse et bien d'un niveau de première s? merci dme repondre

aire du rectangle MN*QM=(10-2x)*x*(rac(3))
donc MN*QM=-2*x^2*rac(3)+10*x*rac(3)
on voit bien que l'aire est de la forme ax^2+bx+c
avec c=0 b=10*rac(3) a=-2*rac(3)


je comprend la derniere frase.c,a et b c koi ds l'expression??? repobd moi steplé c hyper important, fo kje comprenne

c bon jlé comprises mais dans la consigne ils nous disent pour quelles(s) valeur(s)...?
aprè avoir determiner a b et c il ne fodré pas pluoto utilisé delta cé tadire b²-4*a*b??é a se moment nous oront deux solutions -19.8 et -14.8!silvs plé une reposne est urgente ici!!!merci d'avance