Niveau première

Formule de Héron

Posté par N_comme_Nul (invité) 21-05-05 à 13:33

Bonjour !

J'ai remarqué qu'il y avait pas mal de post sur la formule de Héron.
L'aire de la surface délimitée par un triangle dont les côtés mesurent respectivement $a$ , $b$ et $c$ est égale à
$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
où $2p=a+b+c$ .

Il me vient alors une question en voyant cette formule :
comment choisir $a$ , $b$ et $c$
(exprimés dans une même unité)
pour être sûr d'avoir une aire entière ?

Par exemple, si $(p,q,r)$ est un triplet pythagoricien
tel que $p<q<r$
il suffit de considérer un triangle isocèle dont les côtés sont :
$a=2p$ , $b=c=r$ , $q$ étant alors la hauteur.
L'aire égale à $pq$ .

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par re : Formule de Héron 21-05-05 à 14:18

Bonjour

Voila ce que j'ai commencé à chercher sans trop approfondir

une CNS pour que $3$\rm \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ soit entier est que $3$\rm A=p(p-a)(p-b)(p-c)$ soit un carré parfait .

Un développement de A nous donnerais :
$3$\rm A=p^{4}-(a+b+c)p^{3}+(ba+ac+bc)p^{2}-cbap$

On sait que alors que si A est un carré parfait , alors il est sous la forme :
$3$\rm A=$\alpha p^{2}+\beta p+\gamma$^{2}$

Développons alors :
$3$\rm A=\alpha^{2}p^{4}+2\alpha\beta p^{3}+(2\alpha\gamma+\beta^{2})p^{2}+2\gamma\beta p+\gamma^{2}$

$3$\rm $\alpha,\beta,\gamma$$ serait alors solution du systéme :
$\rm \{{\alpha^{2}=1\\2\alpha\beta=-a-b-c\\2\alpha\gamma+\beta^{2}=ba+ac+bc\\2\gamma\beta=-cba\\\gamma^{2}=0}\$

La résolution de l'exercice revient donc à déterminer les conditions sur a , b et c telles que ce systéme admet au moin une solution .

Je vais essayer d'approfondir cela , si tu as une réponse n'hésites pas à la mettre

Jord

Posté par N_comme_Nul (invité)re 21-05-05 à 14:33

Bonjour Nightmare !

J'ai fait aussi un peu de développement.

En développant $p(p-a)(p-b)(p-c)$ je suis tombé sur
$\frac{1}{16}(2b^2c^2+2a^2c^2+2a^2b^2-(a^2+b^2+c^2))$

J'ai voulu reconnaître le début du carré ${(a^2+b^2+c^2)}^2$ , mais alors des puissances quatrièmes interviennent. En poursuivant, rien de bien bon.

Je vais tenter autre chose.

$\alpha\in\{-1,1\}$
$p\in\{-\beta,\beta,2\frac{\beta^2}{b}\}$

A bientôt.

_____________
P.S. : Aussi, il ne faudra pas oublier "à la fin" les conditions de constructibilité du triangle.

Posté par N_comme_Nul (invité)re 21-05-05 à 14:38

reBonjour

Mon dieu ! j'écris trop mal : il s'agissait de puissances quatrièmes et non carrées.
$\frac{1}{16}(2b^2c^2+2a^2c^2+2a^2b^2-(a^4+b^4+c^4))$

Je suis vraiment trop nul moi.

Posté par re : Formule de Héron 21-05-05 à 14:43

Re

Hum , ton développement est interressant .
Si l'on pose A=a² , B=b² et C=c² alors c'est un polynôme du 2nd degré pour les 3 indéterminées a , b et c .

Or , on sait manier les polynôme du second degré , à savoir que c'est un carré parfait si et seulement si son discriminant est nul .

Qu'en penses-tu ? on pourrais approfondir cette idée ?

Jord

Posté par N_comme_Nul (invité)re 21-05-05 à 15:12

reBonjour !

Les éléments de $\mathbb{R}[X,Y,Z]$ ?

En fait, tout à l'heure, j'avais trouvé
$S=\frac{1}{16}\left({(A+B+C)}^2-2(A^2+B^2+C^2)\right)$

En poursuivant à creuser, que des os

A bientôt.

Posté par N_comme_Nul (invité)re 21-05-05 à 15:17

reBonjour !

En fait, ce qui m'embête dans ton premier post, c'est que tu tentes d'écrire un polynôme en $p$ , mais avec des coefficient qui dépendent aussi de $p$

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