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Formule de Héron, exercice.
Bonsoir à tous,
je fais appel à vos connaissances pour un exercice portant sur la formule d'Héron, permettant de calculer l'aire d'un triangle quelqonque à partir de ces trois longueurs.
La première question est :
Montrer que l'aire, S=1/2ab
(1-cos
)(1+cos)
le triangle ABC a pour longueurs :
-AB=c
-BC=a
-AC=b
L'angle A=
B=
C=
Sur la figure de l'énoncé, le triangle semble rectangle bien que aucun symbole ne le confirme, ni dans le texte.
Pour cette démonstration, je suis partie de la formule : S=1/2ab
sin(C), cela correspondait bien au résultat à trouver. Il reste à trouver le lien entre sin(C) ou sin() et (1-(cos())(1+(cos)).
J'ai essayé d'abord de calculer le sinus de ça me donnait c/c, donc 1, si l'angle est rectangle ça marche mais sinon...bref je ne voyais pas de déboucher.
J'ai aussi voulu transformer le sinus en cosinus, tiliser la relation cos2+sin2=1 mais sans vraiment de résultat logique.
Pourriez vous me donner une piste de travail, merçi d'avance !
Bonne soirée
J'ai une autre question...
En effet dans le suite de l'exercice, on me demande de démontrer que
(1-cos)=1-(c2-a2-b2)/2ab
En rappelant que a,b,et c sont les longueurs du triangle.
Pour démontrer cette formule, j'ai utilisé "Al-Kashi", soit
c2= a2+ b2-2abcos
En la modifiant pour calculer cos, je trouve la formule de départ mais est-ce juste, cela me parait bien facile...
Merçi d'avance !
Merçi encore pgeod,
J'ai une dernière interrogation, j'espère que vous pourrez m'éclairer...
La dernière question de l'exercice consiste à retrouver la véritable formule de Héron à partir de la dernière étape démontrer qui est celle ci :
A(aire)=1/4(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)
J'ai choisi d'exprimer les différent facteurs en fonction de s =1/2(a+b+c), par exemple (a+b+c)=2s, lorsque je fais ça pour chaque membre, tout les "s" sont multipliés par 2, pour diviser le tout et revenir à la formule de départ j'ai pensé prendre le 1/4 à l'intérieur de la racine, devenant alors 1/2, et permettant de tout diviser par 2. Est possible ? Les a, b,et c sont t'il aussi diviser par deux ?
C'est peut-être une énorme erreur de calcul, mais peut-être pas...
Merçi d'avance !
Bonne soirée
S
= 1/2 ab (1 - cosc) (1 + cosc)
-------- or (1-cos)= 1 - (c2-a2-b2)/2ab
-------- or (1+cos)= 1 + (c2-a2-b2)/2ab
= 1/2 ab (1 - (c2-a2-b2)/2ab) (1 + (c2-a2-b2)/2ab)
= (1/4) (ab/ab) (2ab - (c2-a2-b2)) (2ab1 + (c2-a2-b2))
= (1/4) (ab/ab) ((2ab - (c2-a2-b2)) (2ab1 + (c2-a2-b2))
Merçi pour avoir pris le temps de me répondre !
Vraiment merçi beaucoup
Bonne soirée et bonne continuation !
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