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Il y a des resultats tres interessants sur les fractions continues.
Par exemple, la fraction continue avec uniquement des 1 :
correspond au nombre d'or
ce sujet est vieux de 10 ans mais il m'a donné envie de coder un algorithme pour le plaisir.
D'abord les résultats :
355 / 113
3.141592
3.141592653589793
104348 / 33215
3.141592653
3.141592653589793
1146408 / 364913
3.1415926535
3.141592653589793
5419351 / 1725033
3.141592653589
3.141592653589793
80143857 / 25510582
3.14159265358979
3.141592653589793
l'idée est simplement de boucler sur une série d'entiers
de les multiplier par pi
de ne garder que la partie entière du calcul
puis de refaire le calcul de a fraction
de comparer avec pi
et de garder la fraction qui s'en approche le plus.
Le code en python :
import math
vPi = math.pi
def get_Denominator(numerator):
test = numerator * vPi
denominator = math.floor(test+0.5)
return denominator
best_numerator = 0
best_denominator = 0
best_pi = 0
best_delta = 1
current_delta = 0
for numerator in range(5,50000000):
denominator=get_Denominator(numerator)
false_pi = denominator / numerator
current_delta = math.fabs(vPi-false_pi)
if( current_delta< best_delta ):
best_delta = current_delta
best_numerator = numerator
best_denominator = denominator
best_pi = false_pi
str_best_pi = str(best_pi)
str_pi = str(vPi)
str_show_pi = ""
i=0
vLen=len(str_best_pi)
vLen2=len(str_pi)
vLen = min(vLen,vLen2)
print(vLen)
for i in range(0,vLen):
if(str_best_pi[i]==str_pi[i]):
str_show_pi+=str_best_pi[i]
else:
break
print(best_denominator,"/",best_numerator)
print(str_show_pi)
print(vPi)
Ces fractions sont des réduites de la fraction continue simple (avec des 1 aux numérateurs) de pi: 3 + 1/(7+1/(15+...)). Sous forme simplifiée la fc simple de pi s'écrit [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] Elle est évidemment infinie parce que pi est irrrationnel. A partir de ces quotients on peut calculer des fractions appelées réduites qui vont approximer de mieux en mieux pi.
J'ai pas regardé le détail de ton programme mais je suppose que tu calcules ces quotients 3,7,.etc.. et que tu t'en sers pour calculer les réduites.
q y / x
---------------
0 / 1
1 / 0
3 3 / 1
7 22 / 7
15 333 / 106
1 355 / 113 *
292 103993 / 33102
1 104348 / 33215 *
1 208341 / 66317
1 312689 / 99532
2 833719 / 265381
1 1146408 / 364913 *
3 4272943 / 1360120
1 5419351 / 1725033 *
...etc...
Pour calculer ces réduites on fait:
avec les valeurs initiales de y et x des deux premieres lignes. Évidemment il faut déjà connaitre les quotients q, c'est-à-dire la fc de simple de pi. (Ces formules sont presque les mêmes que celles qui calculent les coefficients de Bézout dans l'algo d'Euclide étendu, au signe près: on change les "-" pour des "+").
On peut aussi interpoler entre deux réduites pour possiblement trouver une autre fraction qui sera une meilleure approximation de pi que la premiere réduite. Par exemple, entre 355/113 et 103993 / 33102 il y a une centaine d'autres fractions comme ca. On calcule chacune en prenant le quotient suivant, celui de 103993 / 33102, qui est 292 ici, et on le divise par 2: 292/2 = 146 et on s'en sert comme le quotient q pour calculer la fraction interpolee qui va suivre 355/113:
avec q = 146 y/x = 52163 / 16604
avec q = 147 y/x = 52518 / 16717
etc... jusqu'à q=291 mais il faut tester chacune pour voir si elle est une meilleure approximation que 355/113 car ce n'est pas garanti (contrairement aux réduites elles-mêmes).