f(x) existe <=> x-1 <>0 <=> x <> 1
Df = R\{1}

g(x) existe <=> x+1 <>0 <=> x <>-1
Dg = R\{-1}


f(x) = 1/(x-1)

f composée de h définie par h(x) =1/x par la fonction i définie par i(x)=x-1


i affine croissante sur R
h fonction inverse donc décroissante sur ]-oo ,0 [ et sur ]0,+oo[

f = (h o i)

J = ]-oo,0[
I = ]-oo,1[

x€I <=> x < 1 <=> x-1 <0 <=> x-1 € J <=> i(x)€J



Pour tout x de I , i(x)€J
et : Sur J, h est décroissante; sur I i est croissante (donc sens de variations contraires)
Donc (hoi)=f décroissante sur I = ]-oo,1[.


J' = ]0;+oo[
I' = ]1;+oo[

x€I' <=> x > 1 <=> x-1 >0 <=> i(x)€J'


Pour tout x de I', i(x)€J'
et : Sur J', h décroissante; Sur I' , i croissante
donc f décroissante sur I'= ]1;+oo[


faire de même pour la fonction g.
(On trouve : g décroissante sur ]-oo,-1[ et sur ]-1,+oo[

3) a)

Ne pas confondre les notations, j'ai pris la fonction h dans la question précédente, évidemment rien
à voir avec la fonction h de cette question.

h(x) = x/(x²-1)

h(x) existe <=> x²-1 <> 0 <=> (x-1)(x+1)<>0 <=> x<>1 et x<>-1


Dh = R\{-1,1}



Si x€Dh , -x€Dh (à montrer... )
h(-x) = (-x) / ((-x)²-1) = - x/(x²-1) = -h(x).

Donc h est impaire.

b)  h=(f+g)/2 ?

[f(x) + g(x)]/2 = [(1/(x-1))+(1/(x+1))]/2
Ici ce n'est que du calcul je te laisse donc poursuivre.

bonjour
1)soit u(x)=1/x  v(x) = x-1 et w(x)=x+1
on a f qui est la composée de v et u et g est la composée de w et u.
Pour l'étude des variations il faut utiliser la dérivée (regarde ton cours ou les fiches maths du site)
2)
3)montrer que h est impaire, il faut que h(-x)=-h(x). Calcule h(-x) et compare avec -h(x)!
3)calcule f+g/2 et compare avec h

au travail!!!

Salut Prof17,
à mon avis si l'on demande d'écrire f et g comme composées de deux fonctions de référence, c'est pour utiliser le théoreme sur la variation d'une composée (je pense que  boutchoucel n'a pas encore vu les dérivées à cette époque de l'année).
Ceci dit... il est assez difficile à manipuler ce théoreme :/

1) Domaine de définition de f :
f existe si x - 1 différent de 0 (c'est une fraction, on ne peut pas diviser par 0) donc si x différent de 1.
Df = R\{1}

Domaine de définition de g :
g existe si x + 1 différent de 0 (c'est une fraction, on ne peut pas diviser par 0) donc si x différent de
-1.
Dg = R\{-1}

Composée de fonction pour f :
f = v o u avec u(x) = x-1 et v(x)= 1/x
En effet v[u(x)] = 1/[u(x)] = 1/x-1

Composée de fonction pour g :
g = v o u avec u(x) = x+1 et v(x)= 1/x
En effet v[u(x)] = 1/[u(x)] = 1/x+1

Variation de f :
u est croissante sur Df ( car fonction affine avec un coefficient directeur positif) et v est décroissante sur Df (car c'est la fonction inverse) donc v o u est décroissante sur Df donc f est décroissante sur Df

Variation de g :
u est croissante sur Dg et v est décroissante sur Dg donc v o u est décroissante sur Dg donc g est décroissante sur Dg

2)

3)a)
h existe si x² - 1 différent de 0 (Par la suite pour différent, j'écrirai < > )
x² -1 = (x - 1) ( x + 1)
Donc (x - 1) ( x + 1) < > 0
Donc x-1 < > 0 et x + 1 < > 0
donc x < > 1 et x < > -1
donc Dh = R \ { -1 ; 1 }

Pour tout x apparteent à Dh, -x appartient aussi à Dh. De plus h(-x) = (-x) / ( (-x)² - 1) = (-x)/(x²-1) = - h(x).
Donc la fonction h est impaire.

b)
f(x)+g(x) = 1 / (x-1) + 1/ (x+1)
= (x+1)/((x+1)(x-1)) + (x-1)/((x-1)(x+1))
= (x+1+x-1)/((x+1)(x-1))
= (2x)/(x²-1)
Donc ( f(x) + g(x) ) / 2 = x / (x²-1) = h(x)
Comme f et g sont décroissantes alors h est décroissante également.

c)

bonsoir a tous!! pour répondre a ta question nil non je n'ai pas encore vu les derivées!!
je vous remercie beaucoup je vais essayer de faire l'exercice avec ce que vous m'avez donné!!
encore merci!!!