total area  et  shaded

L'aire totale est celle qui est délimitée par le carré et le rectangle , l'aire ombragée est coloriée en vert sur l'illustration .

Imod  

Je vois:

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l'aire ombragée occupe 63.1579%

Bonjour

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Je commence un raisonnement.
Après, je vais avoir du calcul...

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Je trouve la fonction

dans laquelle l'angle est constitué dans le cercle par l'axe horizontal et la demi-droite d'origine le centre du cercle et passant par le point d'intersection du carré, du rectangle et du cercle dans le premier quart du cercle trigo.
Cette fonction semble avoir un maximum de l'ordre de 58.6% pour =/4

@Sanantonio312 : ne cherche pas des choses trop compliquées , il n'y a que des considérations élémentaires de longueurs et un peu de Pythagore

Imod

avec un dessin

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Je soupçonne fortement l'auteur de ces problèmes de régulièrement  les concevoir sur un support quadrillé avant de faire disparaitre ce dernier .

Il est tout de même très malin

Imod

Bonsoir,
J'avais pris 10 comme coté du carré -->12.5 pour le diamètre
Petite erreur dans le calcul de la surface totale  118.75 (25+12.5x7.5)
et donc mon rapport  75/118.75 =0.63158 était inexact.
En vérifiant c'était  25+(12.5x 10) =125
soit un rapport de 75/150 =50%
On peut vérifier sur la figure de malou carré de coté 8
A noter que le décalage entre le carré et le rectangle est toujours de 25 %.

Si on n'a pas repéré le quadrillage :



Imod

Une autre manière, je cache pour ceux qui voudront chercher par eux-mêmes

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Le résultat est une fraction, il ne dépend donc pas de la taille de la figure. Je prends un cercle de rayon 5 et de centre O.

Le grand rectangle a une hauteur de 10.

La zone coloriée.
Elle est inscrite dans le cercle donc son centre est O.
Soit p sa demi-largeur et q sa demi-hauteur. Un sommet est sur le cercle, donc p² + q² = 25.

Le carré.
Le côté droit du carré touche le cercle à droite, donc il est à 5 du centre.
Son côté gauche est aussi le côté gauche de la zone coloriée, à p du centre, de l?autre côté. Le côté du carré vaut donc 5 + p.
Les côtés haut et bas du carré sont ceux de la zone coloriée, donc le côté vaut aussi 2q.

On obtient 5 + p = 2q, soit q = (5 + p) ÷ 2.
On remplace q dans p² + q² = 25 :
p² + (5 + p)² ÷ 4 = 25
4p² + 25 + 10p + p² = 100
5p² + 10p ? 75 = 0, soit p² + 2p ? 15 = 0, soit (p + 5)(p ? 3) = 0
p posiitif, donc p = 3, puis q = (5 + 3) ÷ 2 = 4.

Vérification : 3² + 4² = 25 (triangle 3-4-5).

Les aires.
Zone coloriée : 6 × 8 = 48.
Carré : le côté vaut 5 + 3 = 8, donc l?aire est 64.
Rectangle : il va de x = ?5 à x = 3, soit une largeur de 8 et une hauteur de 10. L?aire est 80.

Aire totale.
80 + 64 ? 48 = 96.

La fraction coloriée est 48 ÷ 96 = 1/2.

En fait , il n'y a pas besoin de tout justifier , la figure est clairement unique à une similitude près . On peut la poser aisément sur un quadrillage orthonormé comme tu l'as proposé . Le reste se résume à reconnaitre le fameux triangle 345 et à compter les carreaux

Imod

Bonjour,

ma propre solution,

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Les triangles DCE et EBK semblables, BK = 1 / 4 AB
AK = 3 / 4 AB, DK = 5 / 4 AB
OT = DK / 2 = 5 / 8 AB, FM = 3 / 8 AB, LM = AB
aire totale LM × LP + AB² - DA× AK = 3 / 2 AB²
aire rouge = 3 / 4 AB² = 1/2 aire totale