1 tu dois savoir faire

2 je vais d abord calculer les coordonnées des vecteurs correspondants

vect(AB)=(xB-xA,yB-yA)=(3;-4)
vect(AC)=(11,2)
vect(BC)=(8;6)

calculons maintenant les distances
AB=(x²+y²)=5
AC=55
BC=10

3 pour voir si ABC est rectangle on va utiliser la réciproque du théorème
de Pythagore

en regardant le dessin, on se dit qu'il est peut etre rectangle
en B
AB²+BC²=25+100=125
AC²=125
donc ABC est rectangle en B

4 calculons les coordonnées du milieu de [AC]
((xA+xC)/2;(yA+yC)/2)
=(7/2;4)

ce sont bien les coordonnées de D, donc D est milieu de [AC]

6 DCEB est un parallèlogramme car vect(DB)=vect(CE)

par ailleurs ADEB est aussi un parallèlogramme car vect(DC)=vect(AD)
comme D est le milieu de [AC]

on sait que (AB) perpendiculaire à (BC) car ABC est rectangle en B.
(AB)//(DE) car ADEB est un parallèlogramme
donc (DE) perpendiculaire à (BC)

donc DCEB est un parallèlogramme donc les diagonales sont perpendiculaires
donc c'est un losange.

7 vect(CE)=vect(DB)
(xE-xC;yE-yC)=(xB-xD;yB-yD)
(xE-9;yE-5)=(1-7/2;-1-4)
E(13/2;0)

8 oups déjà fait

9 dans le triangle ACF,
d est le milieu de [AC]
(AF)//(DE)
donc d'après le théorème des milieu E est le milieu de [CF]

bonjour

dans un repere orthonorme, on considere les points A(-2;3); B(1;-1); C(9;5)
et D(7/2;4).

1) vous faites la figure.

2) determiner les distances ||AB||, ||AC|| et ||BC||?
AB,AC et BC sont des vecteurs.

AB=OB-OA=(i-j)-(-2i+3j)=3i-4j
AC=OC-OA=(9i+5j)-(-2i+3j)=11i+2j
BC=OC-OB=(9i+5j)-(i-j)=8i+6j

donc ||AB||=rc(9+16)=rc(25)=5  ; rc() désigne la racine carré.

||AC||=rc(121+4)=rc(125)=5rc(5)

||BC||=rc(64+36)=rc(100)=10

3) demontrer que le triangle ABC est rectangle?

||AC||²=125

et ||AB||²+||BC||²=25+100=125

donc ||AC||²=||AB||²+||BC||²

donc d'après le théorème de pythagore ABC est un triangle rectangle
en B.



4) demontrer que D est le milieu de AC.

AD=OD-OA=(7/2)i+4j-(-2i+3j)=(7/2 + 2)i+(4-3)j=(11/2)i+j

donc AD=(11/2)i+j

d'autre part AC=11i+2j

donc AD=(1/2)AC.

donc D est le milieu de AC.

5) placer le point E, image du point C par la translation de vecteur
DB ?
faites la translation.

on a : CE=DB

donc DCEB est un parallélogramme.

6) demontrer que le quadrilatere DCEB est un losange?

daprès la question 5) DCEB est un parallélogramme.

pour montrer que c'est un losange il suffit de montrer que :

||DC||=||DB||.

on a montré que DC=(1/2)AC

donc ||DC||=(1/2)||AC||=(1/2)5rc(5)=(5/2)rc(5)

et DB=OB-OD=(i-j)-((7/2)i+4j)=(-5/2)i-5j=-(5/2)(i+2j)

donc: ||DB||=(5/2)rc(1+4)=(5/2)rc(5)

donc ||DC||=||DB||

donc DCEB est un losange.

7) calculer les coordonnees de E?

comme : CE=DB.

si (x,y) sont les coordonnées de E alors OE=xi+yj

CE=OE-OC=(xi+yj)-(9i+5j)=(x-9)i+(y-5)j

comme DB=-(5/2)(i+2j)

CE=DB ssi (x-9)i+(y-5)j=-(5/2)(i+2j)
            ssi x-9=-5/2 et y-5=-5
            ssi x=13/2  et y=0

donc les coordonnées du point E sont (13/2, 0).


8) demontrer que les droites (DE) et (AB) sont paralleles.

soit O le centre du losange DCEB.

O est le milieu de la diagonale DE du losange.
Oest aussi le milieu de la diagonale CB du losange.

donc CO=(1/2)CB
comme on a déjà montré que D est le milieu de CA CD=(1/2)CA
d'après la réciproque du théorème de Thalès DO est alors parallèle à AB.
comme la droite DO est aussi la droite DE.
donc la droite DE est parallèle à la droite AB.

on peut aussi démontrer ce résultat par un calcul direct:

DE=DB+DC=(-(5/2)(i+2j))+(1/2)AC
    =(-(5/2)(i+2j))+(1/2)(11i+2j)
    = 3i-4j
donc DE=3i-4j
d'autre part AB=3i-4j

donc: DE=AB

ce résultat montre que DE est parallèle à AB en plus ADEB est un parallélogramme.


9) les droites (AB) et (CE) se coupent en F. demontrer que E est le
milieu de CF.

DCEB est un losange. donc DB est parallèle à CF.

donc les deux triangles ADB et ACF sont semblables.

donc ||AB||/||AF||=||AD||/||AC||=1/2  car D est le milieu de AC.

donc ||AB||=||AF||/2  comme A,B et F sont alignés donc B est le milieu
de AF.

on va maintenant refaire le même résonnement mais en considérant cett
fois les deux triangle FBE et FAC.

DCEB est un losange. donc BE est parallèle à AC.

donc les deux triangles FBE et FAC sont semblables.

donc ||FE||/||FC||=||FB||/||FA||=1/2  car B est le milieu de AF.

donc ||FE||=||FC||/2  comme F,E et C sont alignés donc E est le milieu
de CF.

voila bon courage

je souhaitrais que vous refassiez l'exo sans regarder la solution.

Salut vous deux...
Je ne sais vraiment pas comment vous remercier!
C'est vraiment super sympa de votre part, avec vos deux explications je
suis sure qu'a present cet exercice sera plus clair a mes yeux...
Lili, si je peux faire quelque chose pour vous, je suis la!!!