bonjour

1) rapporter le pla au repère (I,i,j)
I milieu de AB
i vecteur unitaire porté par AB
j vecteur unitaire directement perpendiculaire à i.

dans ce repère vous avez AB=IB-IA=5i-(-5i)=10i
IM=xi+yj

IM*AB=(xi+yj)*(10i)=10x+Y.0=10x

IM*AB=10 ssi 10x=10 ssi x=1

l'ensemble des points M est donc la droite perpendiculaire à AB qui passe par
le point de coordonnées (1,0) dans le repère (I,i,j).

2) l' ensemble des points M tels que : MA.MB=11.  

MA.MAB=(MI+IA).(MI+IB)
             = MI²+MI.IB+IA.MI+IA.IB
             = MI² +MI.(IA.IB) +(-1/2 AB).(1/2 AB)
             = MI²-AB²/4

MA.MB=11 ssi MI²-AB²/4=11
                   ssi MI²=11+100/4=11+25=36
                   ssi MI=6

c'est donc le cercle de contre I et de rayon 6.

dans le repère (I,i,j) ce cercle a pour équation: x²+y²=36

si de plus M vérifie IM.AB=10 donc x=1

donc y²=36-1=35

y=rc(35) ou y=-rc(35)  ; rc() désigne la racine carré.

donc il ya deux points intersection du cercle x²+y²=6 et de la droir d'équation
x=1:

(1,rc(35))  et (1,-rc(35)).

3)MA²-MB²MA²-MB²=(MA-MB).(MA+MB)

MA-MB=BA
MA+MB=2MI  car I est le milieu de AB
donc:

MA²-MB²=(MA-MB).(MA+MB)=BA.(2IM)=-2AB.IM

développant mantenant: (MA+MAB)²

(MA+MAB)²=MA²+MB²+2MA.MB

d'une part (MA+MAB)²=(2MI)²=4MI²    ; car I est le milieu de AB
d'autre part:
MA.MB=(MI+IA).(MI+IB)=MI²+MI.(IA+IB)+IA.IB
           = MI²-AB²/4
donc (MA+MAB)²=MA²+MB²+2MA.MB est équivalente à:

4MI²=MA²+MB²+2MI²-AB²/2

donc MA²+MB²=2MI²+AB²/2

voila bon courage



(MA+MAB)²=