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Géométrie analytique

Posté par Saosao (invité) 16-03-05 à 15:47

Bonjour,
J'ai un problème sur cet exo, je ne vois vraiment pas comment il faut faire. Venez moi en aide s'il vous plait

Dans le plan muni du repère orthonormal (0;;), on considère trois points distincts A,B et C de l'hyperbole d'équation y=1/x
On note a, b et c les abscisses de A, B et C

1 Soit Da et Db les hauteurs issues de A et B dans le triangle ABC
Montrer que le vecteur Na (bc, -1) est normal à la droite Da, puis déterminer une équation de Da

2 Déterminer de meme une équation de la hauteur Db

3 Calculer alors les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC et vérifier que ce point appartient à l'hyperbole

Merci d'avance

Posté par Saosao (invité)re : Géométrie analytique 16-03-05 à 19:13

S'il vous plait...

Posté par corobu (invité)re : Géométrie analytique 16-03-05 à 21:50

1°)
les coordonnées de A sont (a;1/a) celles de B (b;1/b) et celles de C (c;1/c).
Da est hauteur du triangle ABC issue de A donc elle est perpendiculaire à (BC) et par suite \vec{BC} est......à Da.
Pour prouver que \vec{Na} est normal à Da il suffit donc de prouver que \vec{Na} et \vec{BC} sont colinéaires.
Il y a plusieurs méthodes pour le prouver.
Ce qui marche bien dans ce cas c'est de chercher \vec{BC} et de "viser une factorisation" par (c-b) puis par 4$\frac{c-b}{bc}. Essayez d'obtenir la relation:
4$\vec{BC}=\frac{c-b}{bc}.\vec{Na}

Connaissant un vecteur de coordonnées (u;v) normal à la droite (D), par le cours on sait qu'une équation cartésienne de la droite (D) est
ux+vy+w=0
Il suffit d'appliquer ce résultat en remplaçant u et v par les coordonnées de \vec{Na}.
Pour trouver w on utilise le fait que A appartient à Da donc on écrit que x=a et y=1/a vérifie l'équation (dans l'équation on remplace xpar a et y par 1/a) bien sûr il reste w mais on xprime w en fonction du reste (donc de a,b etc)
Il faudra trouver
équation de Da:

4$(bc)x-y+5$\frac{1}{a}4$-abc=0

2°) de même ontrouvera pour l'équation de Db:

4$(ac)x-y+5$\frac{1}{b}4$-abc=0

remarque: il suffit de remplacer a par b et b par a dans l'équation de Da.

3°)Pour avoir les coordonnées de l'orthocentre il faut résoudre le système formé par les deux équations.
Par soustraction on trouvera
4$x=-5$\frac{1}{abc}

dans l'équation de Da (ou de Db) on remplace x par 4$\rm -    5$\frac{1}{abc}



Posté par corobu (invité)J ai posté avant de terminer :-/ 16-03-05 à 22:01

dans l'équation de Da (ou de Db) on remplace x par -1/abc pour obtenir y.
J'ai trouvé
y=-abc
L'orthocentre du triangle ABC a donc pour coordonnées (-1/abc; -abc).
Il ne vous reste plus qu'à vérifier que le produit des deux est bien 1 ce qui prouve que y =1/x est vérifiée par les coordonnées de l'orthocentre (abc est non nul car chaque facteur est non nul).
Sauf erreur de transcription de ma part...
(c'est écrit trop petit pour moi)
  

Posté par Saosao (invité)re : Géométrie analytique 17-03-05 à 18:13

Merci merci beaucoup, je vais regarder cela doucement...

Posté par Trifly (invité)re : Géométrie analytique 20-03-06 à 14:32

Salut Corobu, voilà je ne comprends pas très bien quelle est ta démarche lorsque tu dis :
Ce qui marche bien dans ce cas c'est de chercher  et de "viser une factorisation" par (c-b) puis par . Essayez d'obtenir la relation:

Voilà j'espère que tu trouveras une meilleure explication



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