Inscription / Connexion Nouveau Sujet
géometrie dans l espace
Bonsoir, voici un exo que je trouve difficile.
On considere deux vecteur u = 
0 et v. On note
P la fonction définie sur R par: P(x)=(v+xu)²
1.Montrer par calcul que P est un polynome du 2nd degré. Quel est son signe?.
2. Calculer son discriminant delta. peut on avoir delta>0? en déduire
l'inégalité dite de Cauchy Schwarz:
lu.vl <llull x llvll
3. Etudier le cas d"égalité. Autrement dit trouver une condition sur
les vecteurs u et v pour que l'on ai une relation dans la question
2.
merci bcp bonne soirée
Bonsoir,
1) On développe P(x) :
P(x)=(v+xu).(v+xu)=||v||²+2x * (u.v) + x²*||u||².
Donc P est un polynôme du second degré.
P est un carré c'est donc un nombre positif.
2) Son discriminant est 4x²(u.v)²-4x²*||u||²*||v||².
Le polynôme ayant un signe constant, son discriminant est donc négatif.
Donc 4x²(u.v)²-4x²*||u||²*||v||² <=0
Soit 4x²(u.v)² <= 4x²*||u||²*||v||²
donc (en divisant par 4x² différent de 0)
(u.v)² <= ||u||²*||v||²
3) Le cas d'égalité correspond au cas où le discriminant est égal
à 0.
C'est à dire si il existe un unique x tel que P(x)=0.
Donc si v=-xu.
Les vecteurs u et v sont donc colinéaires.
@+
Annuler
connectez vous