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Géométrie dans l espace
Bonsoir!
J'ai un autre exercice que je n'arrive pas à faire merci d'avance à ceux qui pourront m'aider.
Soit ABCDEFGH un cube et M un point de la diagonale FD. la droite FD coupe le plan BEG en I et le plan ACH en J.
Soit P le plan orthogonal à FD passant par M et S la section du cube par le plan P.
1/Démontrer que si M appartient au segment FI ou au segment DJ , la section S est un triangle équilatéral de centre M.
2/ On suppose que M appartient au segment IJ.
a)Démontrer que la section S est un hexagone.
b)Vérifier que le périmètre de la section ne dépend pas de la position du point M sur le segment IJ.
c) Quelle particularité présente la section S lorsque M est le milieu O du segment IJ?
@+
Commence par faire un dessin. Je sais, pour la géométrie dans l'espace, c'est pas facile.
La droite FD est perpendiculaire aux plan BEG et ACH.
Pour le demonter, il faut montrer que la droite FD est orthogonale à deux droites de ces plans.
Démontrons que FD est perpendiculaire à BEG.
FD appartient au plan AFGD. Ce plan AFGD est perpendiculaire à EB par construction. Donc toutes les droites de AFGD sont orthogonales à EB. Donc FD est orthogonale à EB.
FD appartient au plan FCDE. Ce plan FCDE est perpendiculaire à BG par construction. Donc toutes les droites de FCDE sont orthogonales à BG. Donc FD est orthogonale à BG.
FD est orthogonale à EB et BG donc, FD est orthogonale au plan BEG.
De la même façon on montre que FD et orthogonale au plan ACH.
Le plan P qui passe par M et qui est perpendiculaire à FD est donc aussi parallèle aux plans BEG et ACH.
Si M est entre D et J, la section S est définie par les point X, Y et Z. X sur AD, Y sur CD et Z sur HD.
Le triangles XYD est isocéle, par Thales dans le triangle ACD. De la même façon, les triangles YZD et ZXD sont aussi isocèles.
Les triangles XYD , YZD et ZXD sont isométriques. Ce sont des triangles isocèles en D qui des cotés communs.
Donc, les longueurs XY, YZ et ZX sont égales; donc le triangles XYZ est équilatérale.
Idem si le point M est entre J et F.
2.a.) Si M est entre J et I, le plan P coupe les 6 faces du cube, c'est donc un hexagone.
2.b.) Le périmètre de la section égale le triple de la longueur de la diagonale d'une face. Sans dessin c'est pas facile.
Tu dois regarder 2 faces opposés du cube. Sur ces 2 faces, regardons les côtés de l'hexagone. Ramène tout sur une seule face. Tu dois pouvoir monter que la somme de la longueur des 2 côtés de l'hexagone et égale à la longueur de la diagonale.
2.c.) L'hexagone est régulier. En faisant comme au 2.b. et en utilisant Thales, tu montres que la longueur du côté de l'hexagone vaut la moitié de la longueur de la diagonale.
Bon courage,
DDD
merci beaucoup DDD
en faite c'est quoi isométrique?
On parle de figures isométriques si elles sont superposables. Autrement dit, si elles sont le mêmes, si elle on la même forme.
http://www.aromath.net/Page.php?IDP=561&IDD=0
J'ai pas compris cmt utiliser thalès dans ACD dans la 1ère question.
et tu fais comment pour démontrer que la somme de la longueur des 2 côtés de l'hexagone et égale à la longueur de la diagonale?
Pour Thales, a la première question, il faut utiliser le rapport de longueur des cotés des triangles. Si tu ne trouves pas, tu peux utiliser les triangles semblables.
Si tu ramènes cotés de 2 faces opposées sur une même face, ça devrait etre plus claire.
Tu devrais avoir la figure suivante. Attention les lettres ne correspondent plus à celle du cube.
Soit ABCD un carré (c'est un face du cube).
M est sur AB et N sur AD. MN est parallèle à la diagonal BD. P est sur BC Q est sur CD. PQ est parallèle à BD. Par construction (mais il faut le prouver) le point P est telque la distance BP égale la distance AN.
Ensuite, c'est facile de prouver que |QP| + |NM| = |BD|
Trace la ligne NP qui coupe BD en R. Cela fait apparaitre des triangles isométriques.
Bon courage.
ah ok j'ai compris merci encore DDD t'es trop gentil!
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