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géométrie dans l'espace
Bonsoir à tous,
Ci joint l'énoncé d'un pb et mes premières réponses. Merci de me dire ce que vous, les forts en géométrie, en pensez, et de m'aider à les trouver lorsque je n'ai pas su répondre ou que je me suis trompé.
Deux rectangles égaux, ABCD et A'BCD', de côtés AB = a et BC = 2a sont situés ds deux plans perpendiculaires.
Un point variable E décrit le segment [BA'], et l'on désigne par Q le plan variable défini par le point E et la droite (AD).
1a) Montrer que le plan Q coupe le segment [CD'] en G
1b) Montrer que (EF)//(BC)
1c) Montrer que le triangle AEF est rectangle
2) On désigne par H le centre du rectangle ABCD et par I la projection orthogonale de H sur la plan Q. Quel est le lieu géométrique de I lorsque E varie ?
3a) Montrer qu'il existe un point O equidistant des points A, B ,C , D et E
3b) Quel est le lieu géométrique de O lorsque E varie ?
4) On pose BE = x. Calculer AE et AF et déterminer x de manière que le rapport
, soit égal à un nombre positif donné k. Discuter suivant les valeurs de k.
Mes réponses
D'abord mon schéma (réalisé avec un logiciel de géométrie plane, dc la perspective ,n'a pas nécessairement un rendu idéal, mais je pense que ça donne une idée de ce que j'ai compris de l'énoncé)
Q1a)
- (AD) est la droite d'intersection du plan défini par le rectangle ABCD et le plan Q
- Le plan défini par le rectangle A'BCD' est perpendiculaire au plan défini par le rtg ABCD
- (AE) coupe [BA'] en E, dc
- la droite // à (AE), passant par D est incluse ds le plan Q, défini par les 3 points non alignés A, D et E
- avec BA' = CD', (largeurs respectives du rectangle A'BCD'), la // à (AE) passant par D coupe [CD']en F, tel que BE = CF
- or la // à (AE) passant par D est incluse ds le plan Q (puisque les 3 points non alignés A, D et E définissent Q)
Conclusion : le plan Q coupe [CD'] (qui contient [CF]), en F.
Q1b)
- Le plan Q coupe le plan du rtg A'BCD' selon (EF)
- On a (AD) // (BC), (AD) 
Plan Q, (BC) Plan(A'BCD').
En appliquant le tm du toit, on a : (EF)//((AD) et dc (EF)//(BC).
Q1c)
- (AE) Plan(ABA')
- (BC) 
Plan(ABA'), dc (BC) est orthogonale à tte droite du Plan (ABA')
- avec (EF)//(BC) (Cf Q1b), (EF) est orthogonale à tte droite du Plan (ABA'), et notamment perpendiculaire à tte droite de ce plan(ABA') passant par E, dc (AE)(EF).
Conclusion : A, E et F, 3 points non alignés, définissent un plan ds lequel AEF est un trg rtg en E.
Q2)
Lorsque E = B, les plans Q et (ABCD) sont confondus, et H = I.
J'ai fait un schéma sur papier pr essayer de suivre l'évolution de I selon la position de I. Il semblerait que le lieu cherché soit un arc de cercle de rayon [MH], M étant le milieu de [AD].
Q3a)
O serait le centre d'une sphère passant par A, B, C, D et E... 
Q3b)
Le lieu de O varierait comme I
Q4)
Ds le plan (ABE), ABE est un trg rtg en B. D'après le tm de Pythagore, on a :
AF est l'hypoténuse du trg AEF, rtg en E (Cf Q1c). Dc
Je passe sur le détail de mes calculs, sauf si vs en avez besoin, pr trouver :
Un tb de signes montre que x ne serait défini que pr Merci par avance pr votre patience et votre aide.
Bonjour ,
Le début va bien;
Peut-être pour 1)a) Le plan n' est pas parallèle au plan
.
Il est donc sécant avec ce plan selon une droite qui passe par
Les plans et
étant parallèles,
recoupe le plan
suivant une droite
Cette droite recoupe le segment
en
point d' intersection de
et
2) Le lieu de est contenu dans le plan passant par
et perpendiculaire aux plans des deux rectangles.
Une figure "vue de dessus":
Avec milieu de
N' est-ce pas clair ?
Je regarde la suite... 
3a) Considérons la perpendiculaire en
au plan
Tout point de cette perpendiculaire est équidistant des points et
Considérons maintenant le plan médiateur de ("vertical")
Tout point de ce plan est équidistant de et
Or et ce plan médiateur sont sécants en
Et sera équidistant de
et
3)b) Un nouveau dessin (toujours "vu de dessus"):
[img1 ]
Toujours avec milieu de
et
milieu de
est l' image de
dans l' homothétie de centre
et de rapport
Le lieu de est le segment
("horizontal")
Merci bcp Cailloux.
Q1a : ta rédaction est + concise, dc + élégante, dc + mathématique.
Q2. Je pense avoir compris. Voici la rédaction que je propose :
Soit M le milieu de [AD] et G le milieu de [EF].
H se projette orthogonalement en I sur (MG).
[MH] restant fixe, ttes les projections orthogonales I de H sur une droite passant par M sont telles que MIH forme un trg rtg en I, d'hypoténuse [MH], inscrit ds le cercle de diamètre [MH].
Le lieu de I est dc l'arc de cercle de diamètre [MH] compris entre H et K( sous-entendu le "petit" arc, celui ne comprenant pas M), K étant la position de I lorsque E est confondu avec A'.
Q3a : très clair (il fallait y penser...)
Q3b : j'ai un peu cherché pr comprendre l'homothétie. En fait on établit cette homothétie en appliquant le tm de Thalès ds le trg MB'G, B' étant le milieu de [BC] (et H le milieu de [MB'] bien sûr).
Q4 : oui j'ai mal discuté (questions de bons sens pourtant, et d bonne lecture de l'énoncé k
0) ; bien sûr je trouve comme toi,
x est défini pr
Dc merci de me valider (si c'est le cas) pr la Q2 et la Q3b et je pourrais alors considérer cet exercice comme résolu (et compris).
(je ne me confonds pas en formules de remerciements et de politesse, tu sais prquoi, mais j'en pense pas moins 
)
C' est tout bon
Pour la 2), il faut tout de même préciser que tout se passe dans le plan (le plan horizontal passant par
)
Autrement dit, le lieu de est inclus dans ce plan.
Oui, on peut se passer de l' homothétie et parler de la droite des milieux dans un triangle où
est le milieu de
et
le milieu de
Parfait
Pr la Q3b, l'explication et la démonstration avec l'homothétie me vont très bien.
Questions connexes concernant géogébra (pas trouvé la r&éponse ds l'aide en ligne...)
Comment fais-tu pr :
- marquer la perpendicularité de 2 droites ds un plan (pourtant mon codage angle droit en petit carré du menu OPTIONS est activé)
- marquer l'isomesure de 2 distances (par ex 2 petits traits pt marquer que 2 segments ont même mesure).
Autant je trouve l'outil géogébra assez facile et agréable à utiliser, autant l'aide en ligne proposée est peu intuitive et ne m'a jamais aidé..
- Il suffit de marquer l' angle avec la première icône (en haut) du 8 ème menu d' icône.
Il faut disposer de 3 points et les cliquer successivement (avec le sommet de l' angle en second; il y a un sens: à tester en situation)
- On veut coder un segment: cliq droit souris sur le segment puis "propriétés"
Puis, tu choisis l' onglet "codage"
Parfait ; testé avec la figure que j'ai jointe au début du topic.
Merci Pierre.
mais tu vois, pr réduire la taille de l'indicateur de perpendicularité (en standard il est à 30 et c'est trop grand), et bah il faut que je fouillasse ds les différents menus ou boites de dialogue ; bon j'ai trouvé en 2-3 minutes, mais va trouver ce genre de renseignement ds l'aide en ligne 
Oui, oui, mais en général le cliq droit sur l' objet en question et "propriétés" permet de faire à peu près tout ce qu' on veut.
C' est vrai, je ne me sers pratiquement jamais de l' aide en ligne.
Mais j' ai tort: je crois qu' on peut faire pas mal de choses avec les complexes et je ne connais pas...
Bonne soirée à toi
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