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Geometrie dans l'espace

Posté par
Premiere59 20-04-11 à 17:18

bonjour, j'ai un dm de math je ne le comprend pas trop

voici l'énoncé:
1) on suppose que  , et  sont non coplanaires et qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que:
a+b+c=0

a) montrer que si a était non nul on pourrait exprimer  comme combinaison linéaire de  et de .
En déduire que a=0

b)Montrer de même que b=0 et que c=0

2) , et , n'étant pas coplanaires, peut-on trouver des réels a et b tels que:
(a+b)(+)+(1-b)(-)= (2a+1)?

3) Même question avec  et  tel que:
(+2)-3(-+)=(-+3)(+)

merci d'avance pour votre aide

Posté par
dhaltere : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 17:20

ton copier/collé est raté

dommage que tu n'aies pas pris le temps de te relire...

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 17:28

desole mais je ne c'est pas faire les vecteur ... ect c'est pour cella et quand j'ai fait apercu il etait bien présent !

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 17:32

1) on suppose que ( les vecteurs ) u v et w  , et  sont non coplanaires et qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que:
au(vecteur)+bv(vecteur)+cw(vecteur)=0

a) montrer que si a était non nul on pourrait exprimer u(vecteur) comme combinaison linéaire de v(vecteur) et w(vecteur)
En déduire que a=0

b)Montrer de même que b=0 et que c=0

2)(vecteur) u v et w, n'étant pas coplanaires, peut-on trouver des réels a et b tels que:
(a+b)(v+w)+(1-b)(w-u)= (2a+1)v?

3) Même question avec alpha et beta tel que:
(alpha+2beta)u-3alpha(u-v+w)=(alpha-beta+3)(w+u)

merci

Posté par
dhaltere : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 17:48

essaie d'écrire ça

[tex]\vec u[/tex]

et tu auras ça :

\vec u

tu as peut-être de lointains souvenirs des vecteurs vus en seconde, non ?

a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0

1a) si a0, alors

\vec u=-\frac ba\vec v -\frac ca\vec w

or l'énoncé les dit non  coplanaires, ce qui veut dire que aucun des 3 ne doit pouvoir s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres,
donc 'a' ne peut pas être non nul sans enfreindre l'énoncé. C'est pourquoi a=0

terminé

1b) idem pour b et c
terminé

2) on veut maintenant trouver a et b tel que
(a+b)(\vec v+\vec w)+(1-b)(\vec w-\vec u)= (2a+1)\vec v

on réorganise tout cela pour obtenir
(a+2b-1)\vec u + (-2a+1)\vec v + (a+1)\vec w=\vec 0

et puisqu'il ne sont pas coplanaire, en vertu du résultat établi précédemment, on peut affirmer alors qu'il faut que les trois coefficients soient nuls :
a+2b=1
2a=1
a=-1

ce qui ne peut pas être obtenu, donc la réponse est : non, on ne peut pas trouver a et b tel que (a+b)(\vec v+\vec w)+(1-b)(\vec w-\vec u)= (2a+1)\vec v

tu fais la dernière ?

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 17:54

a super merci ,

pour la premiere question je trouvé sa :
=-b-c/a = -b/a - c/a
merci

ensuite pour le b je fait le meme calcul ?

la 2 je ne comprend pas comment vous réorganisé le tout , pour les coefficients j'ai comprit

Merci d'avance

Posté par
dhaltere : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 18:13

bravo, tu as bien recopié mon résultat précédent, sauf qu'il te manque des parenthèses

médite ça :

sur ton livre, ou ton cahier, tu vois une formule du genre de celle-ci
\frac{a}{b+c}
et tu as envie de l'écrire ainsi sur le forum
a/b+c
c'est une erreur

l'écriture
a/b+c
équivaut à
\frac ab+c
l'écriture correcte est
a/(b+c)

sur ton livre, ou ton cahier, tu vois une formule du genre de celle-ci
\frac{a}{bc}
et tu as envie de l'écrire ainsi sur le forum
a/bc
c'est une erreur

l'écriture
a/bc
équivaut à
\frac abc
l'écriture correcte est
a/(bc)

sur ton livre, ou ton cahier, tu vois une formule du genre de celle-ci
\frac{a+b}{c}
et tu as envie de l'écrire ainsi sur le forum
a+b/c
c'est une erreur

l'écriture
a+b/c
équivaut à
a+\frac bc
l'écriture correcte est
(a+b)/c

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 18:38

a dacord je ne savait pas merci
donc pour la 1)b. j'utlise les formule que vous avez marqué ?

pouvez vous m'espliqué pour la question 2 svp

Posté par
dhaltere : Geometrie dans l'espace 20-04-11 à 22:30

t'expliquer quoi ? je te l'ai résolue, la question 2), tu ne l'as pas remarqué ?

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 21-04-11 à 11:04

bonjour,

je ne voi pas comment faire la 1.b , et non plus pour la question 3

merci

Posté par
dhaltere : Geometrie dans l'espace 21-04-11 à 16:50

le principal est que tu aies compris comment faire la 1a) et la 2)

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 21-04-11 à 19:18

non je n'est pas comprit :

'' la 2 je ne comprend pas comment vous réorganisé le tout , pour les coefficients j'ai comprit ''

et pareil pour la 1 pouvez vous m'espliqué

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 22-04-11 à 13:27

dhalte je pence avoir trouver pour la 1.b peut tu me dire si j'ai bon :

b=0 : =-c/b-a/b

c=0 : =-a/c -b/c

merci d'avance

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 22-04-11 à 13:29

oups c=0 : =-a/c -b/c

Posté par
dhaltere : Geometrie dans l'espace 22-04-11 à 18:26

ben non, tu n'as pas su recopier mon 1a) en changeant simplement les lettres.
je te fais remarquer que tu as écrit :
b=0 : \vec v=-c/b \vec w - a/b\vec u
donc tu as divisé par b que tu avais fixé à la valeur 0
donc tu as divisé par 0
donc tu as buggé.

l'énoncé dit que :
\vec u, \vec v, \vec w sont non coplanaires
trouvez les triplets (a,b,c) pour que l'équation suivante soit vraie :
a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0

la résolution :
non coplanaire implique que aucun des trois vecteurs ne doit être combinaison linéaire des deux autres.

si on suppose qu'il existe un triplet (a,b,c) qui vérifie l'équation, où a0
alors on peut diviser les deux membres de l'équation par 'a' qui n'est pas nul.
\frac aa\vec u+\frac ba\vec v+\frac ca\vec w=\frac1a\vec 0

1\times\vec u=-\frac ba\vec v-\frac ca\vec w

\vec u=-\frac ba\vec v-\frac ca\vec w

donc si on fait l'hypothèse qu'il existe des triplets (a,b,c) solutions, avec a0, on arrive à la conclusion que \vec u peut être exprimé comme combinaison linéaire des deux autres vecteurs.
Mais alors, c'est contradictoire avec l'énoncé qui dit que ces vecteurs étant non coplanaires, il ne faut pas pouvoir exprimer \vec u en fonction des deux autres.
Donc on est obligé d'exclure cette idée qu'il existe des triplets (a,b,c) solution de l'équation où 'a' serait différent de 0

Donc s'il existe des solutions à l'équation, nécessairement, elles seront telles que a=0

---

si on suppose qu'il existe un triplet (a,b,c) qui vérifie l'équation, où b0
alors on peut diviser les deux membres de l'équation par 'b' qui n'est pas nul.
\frac ab\vec u+\frac bb\vec v+\frac cb\vec w=\frac1b\vec 0

1\times\vec v=-\frac ab\vec u-\frac cb\vec w

\vec v=-\frac ab\vec u-\frac cb\vec w

donc si on fait l'hypothèse qu'il existe des triplets (a,b,c) solutions, avec b0, on arrive à la conclusion que \vec v peut être exprimé comme combinaison linéaire des deux autres vecteurs.
Mais alors, c'est contradictoire avec l'énoncé qui dit que ces vecteurs étant non coplanaires, il ne faut pas pouvoir exprimer \vec v en fonction des deux autres.
Donc on est obligé d'exclure cette idée qu'il existe des triplets (a,b,c) solution de l'équation où 'b' serait différent de 0

Donc s'il existe des solutions à l'équation, nécessairement, elles seront telles que a=0 (on a établi cette contrainte précédemment) et aussi b=0

---

si on suppose qu'il existe un triplet (a,b,c) qui vérifie l'équation, où c0
alors on peut diviser les deux membres de l'équation par 'c' qui n'est pas nul.
\frac ac\vec u+\frac bc\vec v+\frac cc\vec w=\frac1c\vec 0

1\times\vec w=-\frac ac\vec u-\frac bc\vec v

\vec w=-\frac ac\vec u-\frac bc\vec v

donc si on fait l'hypothèse qu'il existe des triplets (a,b,c) solutions, avec c0, on arrive à la conclusion que \vec w peut être exprimé comme combinaison linéaire des deux autres vecteurs.
Mais alors, c'est contradictoire avec l'énoncé qui dit que ces vecteurs étant non coplanaires, il ne faut pas pouvoir exprimer \vec w en fonction des deux autres.
Donc on est obligé d'exclure cette idée qu'il existe des triplets (a,b,c) solution de l'équation où 'c' serait différent de 0

Donc s'il existe des solutions à l'équation, nécessairement, elles seront telles que a=0, b=0 (on a établi ces deux contraintes précédemment) et aussi c=0

---

donc le seul triplet qui pourrait être solution est (0,0,0)

ça tombe bien, c'est une solution évidente

0\vec u+0\vec v+0\vec w=\vec 0

Conclusion
\vec u, \vec v, \vec w sont non coplanaires
le seul triplet (a,b,c) pour que l'équation suivante soit vraie :
a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0
est le triplet
(0,0,0)

Posté par
Premiere59re : Geometrie dans l'espace 22-04-11 à 19:40

bonjour ,

merci je comprend mieux comme cella , je ves éssayé dans trouver d'autre pour mentrainé


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