Bonjour,
Je vois une première façon de tracer le cube, pour laquelle l'intersection du plan BDE et du cube est un rectangle BDEG et le point M appartient au plan BDE. Je suppose qu'il ne s'agit pas du bon cube (trop simple).
Je vois une deuxième façon de tracer le cube, pour laquelle l'intersection du plan BDE et du cube est le  triangle équilatéral BDE. Je suppose que c'est la bonne.
Si l'on trace un plan parallèle au plan BDE et passant par M, il sera à la même distance du point E que du point milieu de BD, pour des raisons liées au théorème de Thalès.
Il coupera donc la diagonale EG en M tel que EM = EG / 3 et il coupera la diagonale AC en un point que l'on appellera N, situé à 1/3 de longueur de diagonale du milieu de AC, tel que CN = CA / 6 . Son intersection avec la face ABCD sera donc un segment deux fois plus petit que son intersection avec la face EFGH (toujours Thalès). L'intersection du plan et du cube est donc un trapèze isocèle dont la grande base est la base  du triangle isocèle de hauteur EM et appartenant au plan de la face EFGH, et la petite base est la base du triangle isocèle de hauteur CN et appartenant au plan de la face ABCD.
La diagonale d'une face vaut arête.racine(2), donc CN = arête.racine(2) / 6 et la petite base du trapèze vaut arête.racine(2) / 3. par un raisonnement similaire on peut évaluer la grande base, ou alors considérer directement qu'elle vaut le double de la petite.
Quand à la hauteur du trapèze, elle correspond à la hauteur issue du sommet E dans le triangle BDE (Thalès encore). En se servant de ce triangle équilatéral, on trouve que cette hauteur vaut cos 30 degrés fois la diagonale d'une face.
Sauf erreur de ma part on doit arriver à :
hauteur = arête.[racine(2) . racine(3)] / 2, ou encore : arête.racine(3) / racine(2)
grande base = arête.2.racine(2) / racine(3)
Si ce n'est pas clair, dis moi jusqu'où c'est clair (je fais une pose jusqu'en début d'après-midi).
Bon courage !