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géométrie dans l espace et homothétie: équation et image

Posté par
Léa 2000
13-05-06 à 17:21

Bonjour,

Je bloque dès la 1ère question, (ce ci est à rendre)la question me paraît très simple mais le problème c'est le rapport -2 qui me gène. Et aussi la 2ème, 3ème et 4ème question me dérange aussi à cause la notion d'image et homothéties.
Pouvez-vous me débloqué svp?

Lénoncé:
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; (vecteur i); (vecteur j); (vecteur k)). On considère h  l'homothétie de centre A(-1; 2; -3) et de rapport -2. A tout point M(x;y;z), on associe M'(x';y';z') image de M par h.

1/ Démontrer que l'on a les relations:

x'=-2x-3
y'=-2y+6
z'=-2z-9

2/ Quelle est l'image de P(1; 2; 1) par h?
3/ Démontrer que l'ensemble des points M(x;y;z) tels que:

x=3t+1
y=-t+2
z=2t+1

est une droite D de l'espace dont on donnera un point et un vecteur directeur.
4/ Donner l'image de D par h.

J'ai fait ceci:

Je calcul les coordonnées des vecteurs AM:
AM'(x'-xA; y'-yA; z'-zA)
AM'(x'+1; y'-2;z'+3)
Et je suis coincée.

Merci de votre aide.
Bye
Léa 2000

Posté par
disdrometre
re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 13-05-06 à 17:28

bonjour Léa,

pour le 1/

On considère h  l'homothétie de centre A(-1; 2; -3) et de rapport -2

soit M(x,y,z) un point et M'=h(M)
et M'(x',y',z')
qui s'écrit aussi \vec{AM'} = -2\vec{AM}
je fais le calcul pour les x seulement :
x' -x_A = -2(x -x_A)
soit :
x' +1 = -2(x +1 )
x'= -2x -3

fais la même chose pour y et z

K.

Posté par prof2 (invité)re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 13-05-06 à 17:35

Salut Léa:
Par définition :  M' est l'image de M par l'homothétie de centre A et de rapport -2 si et seulement si:\vec{AM'}=-2\vec{AM}. après tu n'as qu'à écrire l'égalité qui en découle pour les coordonnées de ces 2 vecteurs

Posté par
Léa 2000
re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 13-05-06 à 17:51

Alors, j'ai réussi à répondre la 1ère question:

j'ai fait:
y'-yA=-2(y-yA)
y'-2=-2(y-2)
y'=-2y+6

z'-zA=-2(z-zA)
z'+3=-2(z+3)
z'=--2z-9

Pour répondre à la 2ème question, comment déterminer l'image de P par h?

Merci

Posté par
disdrometre
re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 13-05-06 à 17:52

remplace (x,y,z) par les coordonnées de P.

K.

Posté par
Léa 2000
re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 13-05-06 à 18:12

J'ai remplacé (x;y;z) par les coordonnées de P(1;2;1)

x'=-2x-3
y'=-2y+6
z'=-2z-9


x'=-2*1-3
y'=-2*2+6
z'=-2*1-9

Je trouve:

x'=-5
y'=2
z'=-11

Donc l'image de P (1; 2; 1) par h est P'(-5; 2; -11)

Pour la 3ème  question je fais comment pour démontrer, avec t?
Merci beaucoup

Posté par
disdrometre
re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 13-05-06 à 18:25

connais-tu les équations paramétérés des droites ?

K.

Posté par
Léa 2000
re : géométrie dans l espace et homothétie: équation et image 14-05-06 à 11:15

Oui
c'est de la forme:

x=at+b
y=ct+d
z=et+f

mais je bloque

J'utilise P(1;2;1)
Je trouve:
x=t+1
y=t+2
z=t+1

Il y a un problème je ne touve pas la même chose dans l'énoncé.
Merci
Léa 2000



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