Sur les intégrales, il y a un type de démarche qui me paraît vraiment bien.
Une intégrale, c'est entre autres une méthode pour calculer une surface. On va se limiter aux fonctions positives.
- Tu commences par une surface très simple : un trapèze rectangle, le trapèze limité par les droites x=0,x=1, y=0 t y=1+x par exemple. Il y a des formules que tu dois connaître pour calculer la surface d'un trapèze et ,oh surprise, ça coïncide avec le calcul de l'intégrale.
A ce niveau, tu précises bien que passer par une intégrale, c'est utiliser un marteau piqueur pour écraser une mouche. C'est une mise en bouche, volontairement simpliste.
- Ensuite, prenons une surface limitée par une courbe quelconque ( et les droites x=a et x=b).
Pour calculer cette surface, on dit que c'est la somme des surfaces des rectangles... ça donne une certaine estimation.
Puis on peut aussi dire que c'est la somme des surfaces des trapèzes ... ça donne une autre estimation.
Tu peux aussi dire que si la coube est convexe, cette estimation par des trapèzes donne un estimation , de plus en plus proche de la bonne valeur quand on prend des trapèzes de plus en plus fins. Mais une estimation toujours supérieure à la vraie valeur.
Alors qu'avec une fonction concave, c'est l'inverse.
Tu peux redémontrer la formule qui donne la surface d'un cercle C'est une intégrale.
Tu peux démontrer la formule qui donne le volume d'une pyramide, ou d'une sphère, ce sont des intégrales aussi.
L'idée n'est pas de parler d'intégrales compliquées, mais de montrer l'étendue des domaines qui sont concernés par les intégrales.