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Gravité, cercle, barycentre et tangente

Posté par
AnaBa
11-11-10 à 20:27


Bonjour !

J'ai un dm sur lequel j'ai passé du temps à essayer de comprendre mais je n'y arrive pas.
Je pense que pour certaines questions, on doit utiliser le produit scalaire mais je ne l'ai pas encore vu et j'y comprend pas grand chose ...



C'est un travail à faire sur un logiciel de géométrie, mais je ne peux pas l'attacher à ce texte à cause du format.

Dans le plan, C est un demi-cercle de diamètre [AB] et de centre O. P est un point qui appartient à C.
C_1 est le cercle de centre A qui passe par P; il coupe la droite (AB) en M et N.

1. Démontrer que le droite (BP) est tangente au cercle C_1.

2. G et G_1 sont les centres de gravité respectifs des triangles ABP et MNP.
Rappel : le centre de gravité G du triangle ABP est : le point de concours de médianes du triangle ABP; situé aux 2/3 de chaque médiane à partie du sommet : en particulier, G est situé aux 2/3 de [PO] en partant de P; ainsi Vecteur[P,G] =2/3Vecteur[P,O] <=> Vecteur[G,P] = -2Vecteur[G,O] <=> 2Vecteur[G,O]+Vecteur[G,P] = Vecteur nul <=> G = bary {(O,2),(P,1)}.
On peut donc dans la barre de saisie entrer l'instruction  G=(2*O+P)/3 pour construire G.
Procéder de façon analogue pour construire G_1.   Donc G_1=(2*A+P)/3

  a) Créer les vecteurs [G_1,G] et [A,B] et conjecturer un lien entre ces deux vecteurs en déplaçant le point P sur C. ( Réponse : Il semblerait que les vecteurs [G_1,G] et [A,B] soient colinéaires et [G_1,G]=1/3[A,B].)
b) Ecrire le vecteur [G_1,G] comme somme de 2 vecteurs contenant le point P ( Réponse : Vecteur[G_1,P] + Vecteur[P,G] = Vecteur[G_1,G] ) et utiliser les propriétés des centres de gravité pour démontrer que Vecteur[G_1,G] reste constant lorsque P décrit C (là je ne comprend déjà pas la question...).

3.a) On veut montrer que le parallèle à (PO) passant par G_1 coupe (AB) en un point fixe E. Or montrer que E est fixe revient à montrer que la distance AE est constante, indépendante de P; à l'aide d'une configuration bien choisie, montrer que E est fixe (on pourra s'en rendre compte en construisant E et en déplaçant P sur C).
  b) Exprimer EG_1 en fonction de AB ( Réponse : EG_1 = 1/6 AB ).
  c) En faisant un clic droit sur G_1, sélectionner "Trace activée" et déplacer le point P sur C. ( un demi-cercle apparaît mais disparaît quand on désactive la trace ).
Quel ensemble, dont on précisera quelques caractéristiques, G_1 semble-t-il décrire lorsque P décrit C ?
Après avoir déplacé P sur C, désactiver la trace de G_1; dans la barre d'outils, sélectionner "Lieu" et faire apparaître le lieu décrit par G_1 lorsque P décrit C.
  d) Déduire de le question b le lieu des points G_1 lorsque P décrit le demi-cercle C.



J'ai fait la question 2a et pour la b je n'ai trouvé que la première partie de la question Vecteur[G_1,P] + Vecteur[P,G] = Vecteur[G_1,G]. puis la question 3b. Je ne comprend pratiquement rien au reste de l'exercice...

Merci de votre aide d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 13:35

Bonjour,

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 14:00

1. As-tu su faire ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 14:10

2.a. D'accord avec toi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 14:13

(réalisé avec Geogebra)

Gravité, cercle, barycentre et tangente

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 14:14

2.b. Il s'agit d'exprimer \vec{G_1G} en fonction d'autres vecteurs constants, sans que P (mobile) apparaisse dans le membre de droite.

Posté par
AnaBa
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 19:13


Le 1, non je ne sais pas.
Pour la figure j'ai la même chose avec GeoGebra. Et pour le lieu de G1, j'ai un demi-cercle de diamètre A-milieu de [EO]. Comment on fait pour le remplissage dans les triangles ? Parce que j'arrive dans les cercles mais .. C'est vrai que comme ça c'est plus clair.

Pour le 2.b. Vecteur[G1,G] semble = 1/3 Vecteur[A,B] (Désolée je sais pas comment on fait les vecteurs sur ordinateur. Mais j'ai appris une seule propriété avec les centres de gravité et c'est avec des poids.
P1*L1=P2*L2

Alors je ne vois pas comment faire ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 12-11-10 à 19:47

1. Démontrer que la droite (BP) est tangente au cercle C1
Que doit-on démontrer pour arriver à ce résultat ?
En d'autres termes quelle est la définition d'une tangente à un cercle ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 14:45

1. Pour montrer que la droite (BP) est tangente au cercle (C1), il suffit de montrer que la droite (AP) portant le rayon [AP] est perpendiculaire à la droite (BP). Or cela découle immédiatement du fait que le triangle APB est rectangle en P, puisqu'inscrit dans un cercle dont [AB] est diamètre.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 14:47

2.a. OK avec la conjecture \vec{G_1G}=\frac{1}{3}\vec{AB}

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 15:12

2.b.
L'énoncé propose d'écrire \vec{G_1G} comme la somme de 2 vecteurs contenant le point P.
Il n'y a qu'une seule façon simple de le faire : \vec{G_1G}=\vec{G_1P}+\vec{PG}
Puis l'énoncé nous guide encore, en rappelant que le centre de gravité est situé aux 2/3 des médianes :

Citation :
Rappel : le centre de gravité G du triangle ABP est : le point de concours de médianes du triangle ABP; situé aux 2/3 de chaque médiane à partie du sommet : en particulier, G est situé aux 2/3 de [PO] en partant de P

Donc :
\vec{G_1G}=\frac{2}{3}\vec{AP}+\frac{2}{3}\vec{PO}
\vec{G_1G}=\frac{2}{3}\left(\vec{AP}+\vec{PO}\right)
\vec{G_1G}=\frac{2}{3}\vec{AO}
Or \vec{AO}=\frac{1}{2}\vec{AB}, donc :
\fbox{\vec{G_1G}=\frac{1}{3}\vec{AB}}
On a démontré la conjecture.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 15:14

Quand P bouge, G_1 et G aussi, mais le vecteur \vec{G_1G} reste constant !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 15:18

3.a. On applique le théorème de Thalès dans la configuration A-E-O A-G1-P :
\frac{AE}{AO} = \frac{AG_1}{AP}
Or \frac{AG_1}{AP}=\frac{1}{3} (encore le fait que le centre de gravité est situé aux 2/3 des médianes), donc :
AE=\frac{1}{3}AO
donc \fbox{AE=\frac{1}{6}AB}

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 15:21

3.b. Thalès nous permet d'écrire \frac{EG_1}{OP}=\frac{AE}{AO}
On en déduit \fbox{EG_1=\frac{1}{6}AB}

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 13-11-10 à 15:23

(réalisé avec Geogebra)

Gravité, cercle, barycentre et tangente

Posté par
AnaBa
Re sujet 14-11-10 à 09:08

Merci beaucoup pour tout ça ! Et désolée pour l'attente mais je ne pouvais pas me connecter.

Pour la tangente, je ne me rappelais plus de la propriété avec le diamètre mais je viens de la retrouver hier. Sinon pour les autres je ne voyais pas comment démontrer.

Pour la figure, comme il demande d'entrer une commande, je n'ai pas fait les médianes, je pense que c'est bon quand même ..

Merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 14-11-10 à 09:19

Je t'en prie.

Posté par
oofaustine-opsoo
salut 07-12-10 à 14:21

Bonjours je pourai avoir la correction de ton exercice Anaba stp ?  j'ai un peu le meme genre a faire et je voudrai m'entrainer merci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Gravité, cercle, barycentre et tangente 01-04-14 à 22:03

Une version interactive et dynamique de l'image ci-dessus est disponible au bout du lien suivant : http://www.geogebratube.org/student/m102588
(déplacer le point P à la souris et la figure s'adapte automatiquement)



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