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Groupes finis

Posté par
Imod
20-12-20 à 19:14

Bonjour à tous

Le problème oral ens ulm 2019 (planche 6.2)) , m'en a rappelé un autre ( Je ne sais pas si c'est un exercice d'oral mais bon ... ) :

L'ensemble des éléments d'ordre fini d'un groupe est-il toujours un groupe , qu'il soit de cardinal fini ou non ?

Rien de calculatoire mais un "poil" astucieux .

Amusez-vous bien

Imod

Posté par
Zormuche
re : Groupes finis 21-12-20 à 05:03

Bonjour

Au sens sous-groupe de G ?

Posté par
Imod
re : Groupes finis 21-12-20 à 10:01

Oui bien sûr , sinon c'est trop facile .

Imod

Posté par
GBZM
re : Groupes finis 21-12-20 à 11:10

Bonjour,

Le produit de deux éléments d'ordres finis n'a aucune raison d'être d'ordre fini. Par exemple, le produit de deux symétries orthogonales d'axes des droites du plan faisant un angle de 1 radian est une rotation d'ordre infini.

Posté par
Imod
re : Groupes finis 21-12-20 à 11:29

Oui c'est clair et c'est encore plus simple avec deux symétries d'axes parallèles .

Et maintenant s'il y a un nombre fini d'éléments d'ordre fini ?

Imod

Posté par
GBZM
re : Groupes finis 21-12-20 à 14:05

Donc ta question est finalement : si les éléments d'ordre fini d'un groupe sont en nombre fini, forment-ils nécessairement un sous-groupe ?

Posté par
Imod
re : Groupes finis 21-12-20 à 16:53

C'est la partie intéressante de la question .

Imod

Posté par
Imod
re : Groupes finis 24-12-20 à 11:21

Pour réorienter ceux qui cherchent des contre-exemples à la dernière question de GBZM , ce n'est pas la bonne voie

Imod

Posté par
Imod
re : Groupes finis 30-12-20 à 11:03

Je donne un indice pour ceux qui cherchent et sont un peu perdus :

 Cliquez pour afficher

Imod

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