Bonjour

Au sens sous-groupe de G ?

Oui bien sûr , sinon c'est trop facile .

Imod

Bonjour,

Le produit de deux éléments d'ordres finis n'a aucune raison d'être d'ordre fini. Par exemple, le produit de deux symétries orthogonales d'axes des droites du plan faisant un angle de 1 radian est une rotation d'ordre infini.

Oui c'est clair et c'est encore plus simple avec deux symétries d'axes parallèles .

Et maintenant s'il y a un nombre fini d'éléments d'ordre fini ?

Imod

Donc ta question est finalement : si les éléments d'ordre fini d'un groupe sont en nombre fini, forment-ils nécessairement un sous-groupe ?

C'est la partie intéressante de la question .

Imod

Pour réorienter ceux qui cherchent des contre-exemples à la dernière question de GBZM , ce n'est pas la bonne voie

Imod

Je donne un indice pour ceux qui cherchent et sont un peu perdus :

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On note F l'ensemble des éléments du groupe G d'ordre fini et H le sous groupe de G engendré par F . Si F est de cardinal n , montrer que tout élément de H peut s'écrire comme le produit d'au plus n éléments de F .

Bonjour.

En effet,  si l'ensemble F des éléments d'ordre fini d'un groupe G est fini, alors, F est un groupe.

Pour le démontrer, je vais établir la propriété suivante

Si F est l'ensemble des éléments d'ordre fini d'un groupe G, alors, le sous-groupe H engendré par F est l'ensemble des produits d'éléments de F distincts 2 à 2

On sait déjà (ou on le démontre facilement)  que H est l'ensemble des produits d'éléments de F. Supposons par l'absurde qu'un élément x de H ne s'écrive pas comme un produit d'éléments de F distincts 2 à 2. On peut alors écrire

  avec les dans F
(s'il y a plusieurs écritures possibles, on choisit minimal)
Il existe naturels tels que et . On peut alors écrire :


Chaque terme entre parenthèses est un élément de F et cela nous permet d'écrire comme produit de éléments de F, ce qui contredit la minimalité de .
Et on déduit  la propriété annoncée.


Maintenant, si on suppose que l'ensemble F des éléments d'ordre fini d'un groupe G est fini, alors, d'après la propriété, le sous-groupe H engendré par F est fini. Tout élément de H est donc d'ordre fini et appartient à F. Ce qui termine la démonstration.

Pour moi , c'est tout bon

Des arguments classiques de la théorie des groupes mais la solution est tout de même très astucieuse .

J'avais oublié ce problème , c'est très amusant de le revoir

Imod