Bonjour

Au sens sous-groupe de G ?

Oui bien sûr , sinon c'est trop facile .

Imod

Bonjour,

Le produit de deux éléments d'ordres finis n'a aucune raison d'être d'ordre fini. Par exemple, le produit de deux symétries orthogonales d'axes des droites du plan faisant un angle de 1 radian est une rotation d'ordre infini.

Oui c'est clair et c'est encore plus simple avec deux symétries d'axes parallèles .

Et maintenant s'il y a un nombre fini d'éléments d'ordre fini ?

Imod

Donc ta question est finalement : si les éléments d'ordre fini d'un groupe sont en nombre fini, forment-ils nécessairement un sous-groupe ?

C'est la partie intéressante de la question .

Imod

Pour réorienter ceux qui cherchent des contre-exemples à la dernière question de GBZM , ce n'est pas la bonne voie

Imod

Je donne un indice pour ceux qui cherchent et sont un peu perdus :

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On note F l'ensemble des éléments du groupe G d'ordre fini et H le sous groupe de G engendré par F . Si F est de cardinal n , montrer que tout élément de H peut s'écrire comme le produit d'au plus n éléments de F .