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ha ha

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Glapion Moderateur 04-10-23 à 15:36

Bonjour, encore des manipulations algébriques !!

on sait que a^3+\dfrac{1}{a^3} = 18

la question est de donner la valeur de a^7+\dfrac{1}{a^7} = ?

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jandri Correcteurre : ha ha 04-10-23 à 16:30

Bonjour,

en posant u_n=a^n+a^{-n} on obtient :

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LittleFoxre : ha ha 04-10-23 à 16:55

Il est très facile de calculer que

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On voit aussi que a est de la forme
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On sait aussi que
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Mais je n'ai pas vraiment de solution algébrique

Posté par
Pirhore : ha ha 04-10-23 à 18:55

Bonjour,

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fabo34re : ha ha 04-10-23 à 19:10

Magnifique énoncé! Merci @jandri pour le passage par la suite (explicite vers récurrence). Très beau!

Posté par
LittleFoxre : ha ha 04-10-23 à 20:01

J'aime bien la solution de jandri.

Pour s'étendre un peu sur l'origine de la récurrence:

u_{n+1} = a^{n+1}+a^{-(n+1)} = (a+a^{-1})(a^n+a^{-n})-(a^{-1}a^n+aa^{-n}) = u_1u_n - (a^{n-1}+a^{-(n-1)} )= u_1u_n - u_{n-1}

On voit que dans les complexes il y a 3 solutions. Les deux autres en prenant u_1 = \frac{-3 \pm \sqrt{15}i}{2}, on obtient u_7=\frac{-843\pm377\sqrt{15}i}{2}

Posté par
carpediemre : ha ha 04-10-23 à 20:01

salut

évidemment sans calculer a

LittleFox @ 04-10-2023 à 16:55

Il est très facile de calculer que
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Mais je n'ai pas vraiment de solution algébrique
j'ai bien une méthode (voir ci-dessous) ... bourrin !! (donc sans commune mesure avec l'esthétique car efficace méthode de jandri)  aussi j'aimerais bien connaitre ta méthode "aisée" !!

assez classiquement :

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de là découlent ses puissances successives

alors LittleFox ? si tu as mieux je suis preneur !!

Posté par
LittleFoxre : ha ha 04-10-23 à 20:19

Non, non. J'ai calculé 'a' à la machine

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Posté par
carpediemre : ha ha 04-10-23 à 20:48

ha d'accord , merci

Posté par
fabo34re : ha ha 04-10-23 à 21:21

Je m'aperçois que c'est la même récurrence qu'avec les polynômes de Tchebycheff ( ici : cos(1°) irrationel )
On avait:
u_n=\cos(n) \Rightarrow u_{n+1}=2u_1 u_n - u_{n-1}

Ici:
u_n=a^n+a^{-n} \Rightarrow u_{n+1}=u_1 u_n - u_{n-1}

Si on prend a=e^{i}, ça a l'air de recoller sachant que cos(n)=(e^{in}+e^{-in})/2

Posté par
jandri Correcteurre : ha ha 04-10-23 à 21:54

fabo34 @ 04-10-2023 à 21:21

Je m'aperçois que c'est la même récurrence qu'avec les polynômes de Tchebycheff ( ici : cos(1°) irrationel )
On avait:
u_n=\cos(n) \Rightarrow u_{n+1}=2u_1 u_n - u_{n-1}

Ici:
u_n=a^n+a^{-n} \Rightarrow u_{n+1}=u_1 u_n - u_{n-1}

C'est bien cela.
Les polynômes de Tchebycheff (de première espèce) sont définis par T_n(\cos t)=\cos(nt)

Pour l'exercice avec a+1/a ce sont les polynômes de Tchebycheff normalisés (c'est-à-dire unitaires) définis par P_n(2\cos t)=2\cos(nt) ou encore P_n(e^{i t}+e^{-i t})=e^{ni t}+e^{-ni t}

Les deux familles sont reliées par P_n(2x)=2T_n(x)

Je connais ces polynômes depuis longtemps : j'avais obtenu 20/20 à un devoir qui portait sur ces polynômes quand j'étais élève en math-sup (il y a 51 ans).

Posté par
Glapion Moderateurre : ha ha 04-10-23 à 23:19

Bravo, vous êtes trop fort !

Posté par
dpire : ha ha 05-10-23 à 08:11

Bonjour,

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Posté par
dpire : ha ha 05-10-23 à 08:21

Comme dab pas vu les blanks


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