Etant donné que tu dois montrer un encadrement (de Un) entre deux
valeurs opposées (-1/n et 1/n), pourquoi ne pas montrer d'abord
que la valeur absolue de Un est inférieure à 1/n ?

C'est-à-dire, montre que   pour tout n
1/ (n²+1) < 1/n

@++

Cas où n est pair > 1

u(n) = 1/V(n²+1)

Soit f(x) = 1/V(x²+1) - 1/x  pour x dans [1 ; oo[

f '(x) = -(1/2).2x/(x²+1)^(3/2) + 1/x²
f '(x) = -x/(x²+1)^(3/2) + 1/x²
f '(x) = [-x³ + (x²+1)^(3/2)] / [x².(x²+1)^(3/2)]

Comme (x²+1)^(3/2) > (x²)^(3/2) = x³

f '(x) > 0 -> f(x) est croissante.
lim(x->oo) f(x) = 0 - 0 = 0
Et donc f(x) < 0 pour tout x dans [1 ; oo[
1/V(x²+1) - 1/x < 0  pour x dans [1 ; oo[
1/V(x²+1) < 1/x   pour x dans [1 ; oo[

Donc:
1/V(n²+1) < 1/n   pour n dans [1 ; oo[   et n pair (pour n = 2 ; 4 ; 6 ...)

U(n) < 1/n  pour n pair > 1.   (1)

Or  1/V(n²+1) >= (-1/n)     (puisque le membre de gauche est positif
et celui de droite négatif)    
U(n) >= (-1/n)     si n est pair  (2)

(1) et (2) ->

(-1/n) <= U(n) <= 1/n   pour n pair.
-----
cas où n est impair

u(n) = -1/V(n²+1)

Je te laisse discuter ce cas en t'inspirant du début.
(En étudiant f(x) = -1/V(x²+1) + 1/x)
-----
Une fois fait, tu regroupes les conclusions des cas n pairs et n impairs
> 1.
----------

Tu auras donc à ce moment:
(-1/n) <= U(n) <= 1/n  quel que soit n > 1

->
lim(n->oo) (-1/n) <= lim(n->oo) U(n) <= lim(n->oo) 1/n

0 <= lim(n->oo) U(n) <= 0
et donc lim(n->oo) U(n) = 0.

La suite Un converge vers 0.
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Sauf distraction.    

Salut Bastien!!
Alors je vais essayer de faire de mon mieux.

1-Démontrer que pour tous entier n  1:
(-1/n) Un (1/n)

On a : Un=((-1)ⁿ)/ ( (n²+1))

Donc pour tout n    , pair, on a :

(-1)ⁿ=1
donc Un=1 / ( (n²+1))

Pour tout n   , impair, on a :

(-1)ⁿ=-1
donc Un=-1 / ( (n²+1))

Pour tout n, on a donc déja :

-1 / ( (n²+1)) Un
1 / ( (n²+1))

Or on a également :

(n²+1) > n
donc 1/ ( (n²+1)) < 1/n
et -1 / ( (n²+1)) > -1/n

On peut donc écrire finalement :

-1/n -1 / ( (n²+1))
Un 1 / ( (n²+1))
1/n

On peut donc écrire plus simplement :

(-1/n) Un (1/n)[/b]


2-En déduire que la suite Un est convergente et préciser sa limite
On a :

lim (-1/n) = 0    
n -> +oo

et

lim 1/n   = 0
n -> +oo

Ces deux suites (-1/n et 1/n) encadrent Un pour tout n
   et supérieur ou égal à 1, donc d'après le "théorème
des gendarmes", la suite Un converge elle-aussi vers 0.

Voilà, si tu ne comprend pas bien quelquechose, ou que je n'ai pas
été assez clair ou autre, dis le moi .

À +