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Indépendances

Posté par
Tiantio
27-02-22 à 10:57

Bonjour à tous

Exo : soit \Omega  un ensemble fini et soit P(\Omega ) l'ensemble des parties de \Omega . On note p la probabilité sur \Omega .

1. Soient A et B deux évènements indépendants de P(\Omega ). On note  B^{c} le complémentaire de B. Exprimer A en fonction de A\bigcap{B} et A\bigcap{B^{c}}

2. En déduire que A et B^{c}  sont indépendants, puis que A^{c}  et B^{c} sont indépendants

je suis bloqué à la première question

Merci pour vos suggestions



Posté par
carpediem
re : Indépendances 27-02-22 à 11:10

salut

Tiantio @ 27-02-2022 à 10:57

On note p la uneprobabilité sur \Omega .

formule des probabilités totales ...

Posté par
GBZM
re : Indépendances 27-02-22 à 11:12

Bonjour,

Les éléments de A\cap B sont les éléments de A qui appartiennent aussi à B.
Le éléments de A\cap B^c sont les éléments de A qui n'appartiennent pas à B.

Qu'est-ce que la réunion de A\cap B et A\cap B^c ? Qu'est-ce que l'intersection de ces deux ensembles ?

Posté par
Tiantio
re : Indépendances 27-02-22 à 12:34

(A\bigcap{B^{c}} )\bigcup{}(A\bigcap{B}) = A

(A\bigcap{B^{c}} )\bigcap{}{}(A\bigcap{B}) = \phi

Posté par
carpediem
re : Indépendances 27-02-22 à 13:19

oui et as-tu regardé ce que je t'ai proposé ?

Posté par
Tiantio
re : Indépendances 27-02-22 à 14:26

Non, j'ai pas utilisé  votre suggestion désolé

J'ai pu montrer que A et Complémentaire de B sont indépendants avec la relation de A

Posté par
GBZM
re : Indépendances 27-02-22 à 14:27

Maintenant que tu as réalisé ça, tu devrais pouvoir continuer. En notant a=P(A) et b=P(B), que valent
P(A\cap B) ?
P(A\cap B^c) ?
etc.

Posté par
Tiantio
re : Indépendances 27-02-22 à 14:51

P(A\bigcap{B}) = a *b
P(A\bigcap{B^{c}}) = a*(1-b)

merci pour vos suggestions ( j'ai utilisé la suggestion de Carpediem pour l'autre égalité)

Posté par
carpediem
re : Indépendances 27-02-22 à 15:06

ce que te propose GBZM est de toute façon ce que je te propose sans le nommer !!

en notant B* le complémentaire

B et B* forment une partition de l'univers donc P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^*)

et P(A \cap B) = P(A) P(B)

donc on en déduit immédiatement que P(A \cap B^*) = P(A)P(B^*)

c'est le même raisonnement avec A* ...

Posté par
Tiantio
re : Indépendances 27-02-22 à 18:32

merci monsieur, j'ai compris

Posté par
carpediem
re : Indépendances 27-02-22 à 19:04

de rien



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