Bonsoir,
Je voulais résoudre ce petit exo et il m'est arrivé de faire une conjecture assez intéressante..
Voici l'énoncé :
Soient a, b, c et d des réels tels que a + b + c + d = 1.
Démontrer que :
Réponse :
a, b, c et d réels.
a + b + c + d = 1
(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² + (d - 1)²
= a² + b² + c² + d² -2(a + b + c + d) + 4
= a² + b² + c² + d² + 2
Car a + b + c + d = 1.
Et là il m'arrive de conjecturer que si a + b + c + d = 1, alors a² + b² + c² + d² ≥ 1/4. (Chose évidente puisque )
Et pour le montrer je fais :
Soit A = (a, b, c, d) et B = (1, 1, 1, 1) deux vecteurs de .
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on a :
==> a² + b² + c² + d² ≥ 1/4.
Car la fonction qui à x associe x² est croissante sur .
D'où
Car la fonction qui a associe est également croissante sur .
Conclusion : pour a, b, c et d réels,
Si a + b + c + d = 1 alors on a :
Mais en fait il s'agit d'un exo de niveau lycéen donc pas de Cauchy-Schwartz dans pour sauver cette conjecture..
Du coup je pense qu'il fallait le voir autrement cet exo.
Bonne soirée à vous
Oups l'énoncé est plutôt :
Ah et je me suis trompé sur la borne, il fallait prendre (3/4)^4 = 81/256 et non (3/2)^4 / 2 = 81/32
Cette nouvelle inégalité est juste.
Elle est effectivement équivalente à ou encore .
Pour la montrer le plus rapide est l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
.
On peut aussi la démontrer ainsi :
Merci beaucoup à tous.
elhor_abdelali c'est quoi votre référentiel mathématique ?
L'algèbre ou l'analyse ou .. ?
Bonjour,
Une variante avec Cauchy-Schwartz :
Poser A = a-1, B = b-1, C = c-1, D = d-1.
On a alors A+B+C+D = -3.
D'après Cauchy-Swartz, (A+B+C+D)2 (A2+B2+C2+D2)(12+12+12+12)
D'où A2+B2+C2+D2 9/4.
Bonjour Sylvieg,
dans son premier message matheux14 demandait une preuve niveau lycée, donc sans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est pourquoi j'ai proposé cette égalité.
Au passage, le Hermann Schwarz de l'inégalité est un allemand (1843-1921) à ne pas confondre avec le français Laurent Schwartz (1915-2002) : l'orthographe n'est pas exactement la même.
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