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Inégalité

Posté par
matheux14
03-08-22 à 19:30

Bonsoir,

Je voulais résoudre ce petit exo et il m'est arrivé de faire une conjecture assez intéressante..

Voici l'énoncé :

Soient a, b, c et d des réels tels que a + b + c + d = 1.

Démontrer que :

\sqrt{a² + b² + c² + d²} \ge 3/2

Réponse :

a, b, c et d réels.

a + b + c + d = 1

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² + (d - 1)²

= a² + b² + c² + d² -2(a + b + c + d) + 4

= a² + b² + c² + d²  + 2

Car a + b + c + d = 1.

Et là il m'arrive de conjecturer que si a + b + c + d = 1, alors a² + b² + c² + d² ≥ 1/4. (Chose évidente puisque \sqrt{1/4 + 2} = 3/2)

Et pour le montrer je fais :

Soit A = (a, b, c, d) et B = (1, 1, 1, 1) deux vecteurs de \R^4.

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on a :

|A.B| \le ||A|| × ||B||

\Longrightarrow |(a, b, c, d) . (1, 1, 1, 1)| \le \sqrt{a² + b² + c² + d²} \times \sqrt{1² + 1² + 1² + 1²}

 \Longrightarrow |a + b + c + d| \le \sqrt{a² + b² + c² + d²} \times \sqrt{4}

 \Longrightarrow \sqrt{a² + b² + c² + d²} \ge 1/\sqrt{4}

==> a² + b² + c² + d² ≥ 1/4.

Car la fonction qui à x associe x² est croissante sur \R^+.

D'où \sqrt{a² + b² + c² + d² + 2} \ge 3/2

Car la fonction qui a x associe \sqrt{x} est également croissante sur \R^+.

Conclusion : pour a, b, c et d réels,

Si a + b + c + d = 1 alors on a :

\sqrt{a² + b² + c² + d²} \ge 3/2

Mais en fait il s'agit d'un exo de niveau lycéen donc pas de Cauchy-Schwartz dans \R^4 pour sauver cette conjecture..

Du coup je pense qu'il fallait le voir autrement cet exo.

Bonne soirée à vous

Posté par
jandri Correcteur
re : Inégalité 03-08-22 à 19:34

Bonjour,

l'inégalité est clairement fausse : prendre (a,b,c,d)=(1,0,0,0).

Posté par
matheux14
re : Inégalité 03-08-22 à 20:56

Oups l'énoncé est plutôt :

Citation :
Soient a, b, c et d des réels tels que a + b + c + d = 1.

Démontrer que :

\sqrt{(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² + (d - 1)²} \ge 3/2

Posté par
Ulmiere
re : Inégalité 03-08-22 à 21:03

Par contre si abcd \geqslant 81/32, l'inégalité arithmético-géométrique donne le bon résultat

Posté par
matheux14
re : Inégalité 03-08-22 à 21:06

Citation :
Réponse :

a, b, c et d réels.

a + b + c + d = 1

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² + (d - 1)²

= a² + b² + c² + d² -2(a + b + c + d) + 4

= a² + b² + c² + d²  + 2

Car a + b + c + d = 1.

Et là il m'arrive de conjecturer que si a + b + c + d = 1, alors a² + b² + c² + d² ≥ 1/4. (Chose évidente puisque \sqrt{1/4 + 2} = 3/2)

Et pour le montrer je fais :

Soit A = (a, b, c, d) et B = (1, 1, 1, 1) deux vecteurs de \R^4.

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on a :

|A.B| \le ||A|| × ||B||

\Longrightarrow |(a, b, c, d) . (1, 1, 1, 1)| \le \sqrt{a² + b² + c² + d²} \times \sqrt{1² + 1² + 1² + 1²}

 \Longrightarrow |a + b + c + d| \le \sqrt{a² + b² + c² + d²} \times \sqrt{4}

 \Longrightarrow \sqrt{a² + b² + c² + d²} \ge 1/\sqrt{4}

==> a² + b² + c² + d² ≥ 1/4.

Car la fonction qui à x associe x² est croissante sur \R^+.

D'où \sqrt{a² + b² + c² + d² + 2} \ge 3/2

Car la fonction qui a x associe \sqrt{x} est également croissante sur \R^+.

Conclusion : pour a, b, c et d réels,

Si a + b + c + d = 1 alors on a :

\sqrt{a² + b² + c² + d² + {\red{2}}  } = {\red{\sqrt{(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² + (d - 1)²}} \ge 3/2

Posté par
matheux14
re : Inégalité 03-08-22 à 21:10

Ulmiere @ 03-08-2022 à 21:03

Par contre si abcd \geqslant 81/32, l'inégalité arithmético-géométrique donne le bon résultat


L'inégalité \sqrt{a² + b² + c² + d²} \ge 3/2 ?

Posté par
Ulmiere
re : Inégalité 03-08-22 à 21:15

matheux14 @ 03-08-2022 à 21:10

Ulmiere @ 03-08-2022 à 21:03

Par contre si abcd \geqslant 81/32, l'inégalité arithmético-géométrique donne le bon résultat


L'inégalité \sqrt{a² + b² + c² + d²} \ge 3/2 ?


oui, parce que (a²+b²+c²+d²) >= 4(a²b²c²d²)^(1/4) implique sqrt(a²+b²+c²+d²) >= 2(abcd)^(1/4) >= 2 * (3/4) >= 3/2
Ca marche même si a+b+c+d != 1, le seul problème c'est que c'est pas la question posée

Posté par
Ulmiere
re : Inégalité 03-08-22 à 21:18

Ah et je me suis trompé sur la borne, il fallait prendre (3/4)^4 = 81/256 et non (3/2)^4 / 2 = 81/32

Posté par
jandri Correcteur
re : Inégalité 03-08-22 à 21:20

Cette nouvelle inégalité est juste.

Elle est effectivement équivalente à \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+2}\geq\dfrac32 ou encore a^2+b^2+c^2+d^2\geq\dfrac14.

Pour la montrer le plus rapide est l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

1=(a+b+c+d)^2\leq(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1).

On peut aussi la démontrer ainsi :

4(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2\geq1

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Inégalité 04-08-22 à 01:49

bonjour


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Posté par
matheux14
re : Inégalité 04-08-22 à 09:13

Merci beaucoup à tous.

elhor_abdelali c'est quoi votre référentiel mathématique ?
L'algèbre ou l'analyse ou .. ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Inégalité 04-08-22 à 14:37

matheux14 \to ... disons un peu de tout

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inégalité 05-08-22 à 15:16

Bonjour,
Une variante avec Cauchy-Schwartz :
Poser A = a-1, B = b-1, C = c-1, D = d-1.
On a alors A+B+C+D = -3.
D'après Cauchy-Swartz, (A+B+C+D)2 (A2+B2+C2+D2)(12+12+12+12)
D'où A2+B2+C2+D2 9/4.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inégalité 05-08-22 à 15:25

Et sans Cauchy-Schwartz, en reprenant l'égalité de jandri :

4(A^2+B^2+C^2+D^2)=(A+B+C+D)^2+(A-B)^2+(A-C)^2+(A-D)^2+(B-C)^2+(B-D)^2+(C-D)^2

On trouve 4(A^2+B^2+C^2+D^2)\geq (A+B+C+D)^2

Posté par
jandri Correcteur
re : Inégalité 06-08-22 à 14:38

Bonjour Sylvieg,

dans son premier message matheux14 demandait une preuve niveau lycée, donc sans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est pourquoi j'ai proposé cette égalité.

Au passage, le Hermann Schwarz de l'inégalité est un allemand (1843-1921) à ne pas confondre avec le français Laurent Schwartz (1915-2002) : l'orthographe n'est pas exactement la même.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inégalité 06-08-22 à 15:52

Bonjour jandri,
Merci pour le passage



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