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Inégalité de Cauchy-Schwarz

Posté par
Pandoraa
16-02-12 à 13:24

Bonjour,
J'ai un devoir maison sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz, et je ne comprend pas grand chose, pourriez vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance !

Exercice :
On a la proposition qui est ; Soient et deux vecteurs du plan. Alors on a |(|)||||| ||||.
Il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Partie A :1) Dans cette question, on suppose que est le vecteur nul. Montrer que l'inégalité de Chauchy-Schwarz est vérifiée.
2) Montrer qu'il en est de même si est le vecteur nul.
Pour les deux parties suivantes on supposera que et sont des vecteurs non nul.

Partie B :
On suppose que les vecteurs et sont des vecteurs colinéaires.
1) Calculer (|) et |||| |||| en fonction de ||||²
2) En déduire que, dans ce cas, l'inégalité de Cauchy-Schwarz est un égalité.


Voilà.. Merci !
Bonne journée

Posté par
dnaref
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 16-02-12 à 13:37

Bonjour,

La partie A est triviale, en effet :
1) Si \vec{u}=\vec{0}, alors : |(\vec{0}|\vec{v})| \leq ||\vec{0}||*||\vec{v}||.
D'où 0 \leq 0 et bien sûr l'inégalité de Cauchy Schwarz est vérifiée.

Le 2) se traite de façon similaire que le 1).

Posté par
watik
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 16-02-12 à 13:44

bonjour

partie A
1) si u=0 alors u.v=0 et ||u||=0 donc ||u||.||v||=0
donc u.v=||u||.||v|| donc l'inégalité est vérifiée.
2) si v=0 c'est parail u et v jouent un role symétrique

Partie B
u et v colinéaires donc il existe µ réel tel que u=µv
donc u.v=(µv).v=µ(v.v)=µ||v||²
||u||.||v||=||µv||.||v||=|µ|.||v||²

2) |(u.v)|=|µ|.||v||²|
          =|µ|.||v||²
donc
|(u.v)|=||u||.||v||

Posté par
Pandoraa
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 16-02-12 à 14:05

Bonjour,

Merci pour votre aide, j'ai bien compris la Partie A !
Mais la B bof, on est obligé de prendre µ un réel tel que u=µv ?



J'ai oublié la Partie C dans mon énoncé, pardon,
Partie C :
On suppose maintenent que les vecteurs et ne sont pas des vecteurs colinéaires? Soit x un nombre réel.
1) Justifier que ||x+||²>0
2) Montrer que ||x+||²=x²||||²+2x(|)+||||²
3) On défnit la fonction f: par f(x)=||x+||²
a) Montrer que f est une fonction polynome du second degré
b) Montrer que son discriminant est strictement négatif
4) Etablir l'inégalité de Cauchy-Schwarz
5) Montrer que, s'il y a égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz, alors et sont colinéaire.



Merci beaucoup

Posté par
watik
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 16-02-12 à 14:42

ta citation "Mais la B bof, on est obligé de prendre µ un réel tel que u=µv ?"
Oui car par hypothèse u et v son colinéaire et donc il eiste un réel µ tel que u=µv


Partie C

1) ||xu+v||² est un carré de réel (qui est positif aussi car c'est une norme) donc il est positif
montrons qu'il n'est pas nul.
supposons que ||xu+v||²=0 donc xu+v=0  car c'est une propriété de la norme (||w||=0 <==> w=0)

donc v=-xu
donc u et v sont colinéaires
ce qui est en contradiction avec u et v non colinéaire
donc ||xu+v||² est strictement positif

2)||xu+v||²=(xu+v).(xu+v)
           =x²(u.u)+2x(u.v)+(v.v)
           =x²||u||²+2x(u.v)+||v||²

3)a)f(x)=||xu+v||²=x²||u||²+2x(u.v)+||v||²
donc f est un polynome de second degré

b)Délta=4(u.v)²-4||u||²*||v||²
comme ||xu+v||²>0 donc ne s'annule pas donc f n'a pas de zéros donc Délta<0

4) Délta<0 et Délta=4(u.v)²-4||u||²*||v||²
donc
4(u.v)²-4||u||²*||v||²<0 donc 4(u.v)²-4||u||²*||v||²
                         donc (u.v)² < ||u||²*||v||²
                         donc V(u.v)² < V (||u||*||v||)²   ; car la fonction racine est strictement croissante
                         donc |(u.v)|<||u||*||v||   ; car V(X²)=|X|

5) s'il y égalité |(u.v)|=||u||*||v|| alors Délta=0 dans ce cas f(x) s'annule en xo=-(u.v)/||u||² et ||xou+v||²=0 donc xou+v=à donc v=-xou donc u et v sont colinéaires

Posté par
Pandoraa
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 18-02-12 à 15:51

Bonjour,

Merci beaucoup ! J'ai un peu compris jusqu'à la 4ieme question.
Juste, je ne comprend pas comment le 4 disparait ?
Et dans " donc V(u.v)² < V (||u||*||v||)²   ; car la fonction racine est strictement croissante "
Que signifie le V ? c'est le vecteur v ?



Et j'ai une dernière question,
Il faut que je montre que pour tous nombres réels a et b, on a
4a²b²(a²+b²)²

Merci encore,
Bonne journée

Posté par
watik
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 20-02-12 à 09:21

rebonjour

je te réponds mais je ne sais pas si c'est trop tard.

le 4 disparait parce qu'il a été simplifé

V()=racine carré à ne pas confondre avec v miniscule qui le vesteur de l'énoncé.

tu as |(u.v)|<=||u||.||v||

soit dans la base orthonormée (i;j) (a,b) les coordonnés de
donc u=ai+bj et pronons v=bi+aj
u.v=ab+ba=2ab et ||u||=V(a²+b²) et ||v||=V(b²+a²)

donc |(u.v)|<=||u||.||v|| donc (u.v)²<=||u||².||v||²

ce qui donne 4a²b²<=(a²+b²)(B²+a²) donc 4a²b²<=(a²+b²)²

Posté par
Pandoraa
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 20-02-12 à 13:32

Bonjour,

Merci, c'était pas trop tard, j'ai encore une semaine.
Mais d'où elle sort la racine ?

J'ai pas très bien compris la dernière question, mais merci beaucoup quand même !

Posté par
dnaref
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 20-02-12 à 15:43

Bonjour,

Je vais reprendre les 2 dernières questions de Watik, càd les questions 4 et 5.

4) Puisque dans la question 3)b) on trouve un \Delta<0, on a :
4(\vec{u}|\vec{v})^2-4||u||^2||v||^2<0
<=> 4[(\vec{u}|\vec{v})²-||u||^2||v||^2]<0
<=> (\vec{u}|\vec{v})²-||u||^2||v||^2<0 (en simplifiant par 4)
<=> (\vec{u}|\vec{v})²<||u||^2||v||^2
<=> \sqrt{(\vec{u}|\vec{v})²}<\sqrt{||u||^2||v||^2} (car la fonction racine est strictement croissante, donc on ne change pas le sens de l'inégalité)
<=> |\vec{u}|\vec{v}|<||u||*||v|| (car \sqrt{x^2}=|x|)

D'où l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

5) S'il y égalité, alors on a : |\vec{u}|\vec{v}|=||u||*||v||, et donc par conséquent \Delta=0 en reprenant la question 4.
Ainsi, f admet une racine double égale à -b/2a, càd ici : x_0=-\frac{(\vec{u}|\vec{v})}{||u||^2}.
Par conséquent, d'après la question 2, on a :
||x_0\vec{u}+\vec{v}||^2=0
<=> x_0\vec{u}+\vec{v}=0
<=> \vec{v}=-x_0\vec{u}, x_0 étant un réel.
De ce fait, les vecteurs u et v sont bien colinéaires.

Posté par
watik
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 20-02-12 à 15:56

merci dnaref

c'est plus clair en Latex

je dois m'y mettre, surement.

Posté par
dnaref
re : Inégalité de Cauchy-Schwarz 20-02-12 à 16:16

Bonjour Watik,

En effet Latex est pas mal, même si les lignes de codes ne sont pas simples à écrire.



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