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Inégalité triangulaire.

Posté par
yns91
22-06-20 à 15:11

Bonjour l'ile des mathématiques,

Je suffoque devant cet exercice :

" Montrer que pour tout et 2,  avec u et v vecteurs non non-nuls, ||+||=||||+|||| et sont colinéaires de même sens."

Trace de recherche :

Soient et deux vecteurs du plan non-nuls.

Supposons et   colinéaires de même sens.

Alors, =k et =K avec K et k appartenant à +* (K et k sont des constantes strictement positives).
On aura du coup K=k^-1 et k=K^-1.

Considèrons (x;y) et (Kx;Ky).

Alors, ||||=\sqrt{x^2+y^2} et ||||=\sqrt{(Kx)^2+(Ky)^2}.

Cela implique que +(x+Kx;y+Ky) soit +(x(K+1);y(K+1)) et, ||+||=\sqrt{(Kx+K)^2+(Ky+K)^2}.

Et là je suis bloqué pour identifier |||| et ||||.


Merci d'avance pour l'aide,
Je suis complètement perdu.

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:24

salut,
peux tu preciser quel est est le chapitre que tu etudies ?

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:26

La géométrie dans le plan : vecteurs colinéaires et produit scalaire

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:34

comment est defini le produit scalaire de 2 vecteurs ?

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:41

Il y'a plusieues définitions


Mais la principale est u.v=||u|| × ||v|| × cos(u;v). (Avec u et v deux vecteurs)

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:45

donc que vaut u scalaire u ?

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:47

Pour u un vecteur de R^2,

u.u vaut la norme de u au carré soit ||u||^2.

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:48

Pourrions nous aller vers l'essentiel (droit au but)

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:53

je note n(u) la norme de u
n(u+v)=n(u)+n(v)
equivaut à
n(u+v)^2=(n(u)+n(v))^2
continue en utilisant le produit scalaire

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:57

n(u+v)=n(u)+n(v)+2u.v

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:58

J'ai oublié le carré pour le 1er membre de l'égalité * n(u+v)^2

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 15:58

Donc rectificatif :

n(u+v)^2=n(u)^2 + n(v)^2 +2u.v

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 16:03

tres bien
n(u+v)^2=(n(u)+n(v))^2
equivaut à
n(u)^2+n(v)^2+2u.v=??

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:08

J'ai pas compris

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:10

n(u+v)^2=(u+v).(u+v)=n(u)^2+n(v)^2+2u.v


Si on applique l'inégalité triangulaire,
N(u+v)^2 <= n(u)^2 + n(v)^2 + 2u.v

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:14

n(u+v)^2=(n(u)+n(v))^2
equivaut à
n(u)^2+n(v)^2+2u.v=developpe l'expression rouge

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:16

(n(u)+n(v))^2=n(u)^2+2n(u)n(v)+n(v)^2

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:20

tres bien resumons

n(u+v)=n(u)+n(v)
equivaut à
n(u+v)^2=(n(u)+n(v))^2
equivaut à
n(u)^2+n(v)^2+2u.v=n(u)^2+2n(u)n(v)+n(v)^2
equivaut à
continue

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:29

Équivaut à 2u.v=2n(u)n(v)

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:30

Équivaut à u.v=n(u)n(v)

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:44

exprime maintenant u.v avec le cos et termine

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:48

équivaut à

n(u)n(v)cos(u;v)=n(u)(n(v)

équivaut à

cos(u;v)=1

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:49

Et là je fais arccos(1) ?

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:49

oui
equivaut à ???

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:50

yns91 @ 22-06-2020 à 18:49

Et là je fais arccos(1) ?
non reflechis

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:56

équivaut à

l'angle (u;v)=0 ou 2k

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 18:57

k

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 19:03

Donc u et v colinéaires?

Mais comment je prouve qu'ils sont de meme sens ?

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 19:13

l'angle (u,v) est l'angle nul donc u et v sont colineaires de meme sens
si un jour tu as (u,v)=pi +k*2*pi alors tu diras u et v sont colineaires de sens contraire

Posté par
carpediem
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 19:17

yns91 @ 22-06-2020 à 18:49

Et là je fais arccos(1) ?
ça ne veut strictement rien dire ...

éventuellement on calcule une expression numérique ... mais je ne pense pas que ton prof de math t'ait autorisé à écrire arccos x sur une copie ...

par contre tu dois connaitre les nombres dont le cosinus est 1 ...

Posté par
yns91
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 19:49

Merci!

Je n'ai pas eu de cours de trigonométrie depuis la 3è. Je passe maintenant en Terminale spé maths, maths expertes.
Donc du coup j'ai des notions assez vagues et peu approfondies. Va falloir travailler la trigo l'été

Merci alb12 ! Et toi aussi carpediem.

Et pourriez-vous répondre à mon topic orientation concernant la CPGE
Orientation CPGE scientifique


Bonne soirée et merci encore pour l'aide précieuse.

Posté par
alb12
re : Inégalité triangulaire. 22-06-20 à 19:54

Dans les circonstances actuelles je trouve que tu te debrouilles tres bien
Bonne poursuite d'etudes.

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