bonsoir,
tu dois faire un tableau de signe.
je t'aide pour le 1 mais pour le 2 je n'ai jamais travaillé avec 2 inconnus.
1)x+1/x > 2
donc (x+1-2x)/x > 0
      (-x+1)/x) > 0
tableau de signe.
       - infini         -1         0           + infini
    x    /       -       /     -   /       +       /
-x+1    /       +      /    -    /      -        /

(-x+1)/x /        -    /    +   /       -       /
  
solution ]-1 ,0[
donc ca martche pour tout reel sauf 0(et là -1 car c'est la valeur interdite)

Bonsoir,
Concernant la question 1 : Effectivement ça semble fonctionner uniquement pour les réels positifs. Vérifiez votre énoncé : (x + 1/x) > 2 ou |x + 1/x| > 2 (c'est à dire valeur absolue)?
Une piste possible : étude de la fonction f(x) = x + 1/x :
La dérivée f'(x) = 1-(1/x^2) est négative pour x<1 (fonction f(x) décroissante), nulle pour x=1 (avec f(x)=2 comme point le plus bas de la courbe) et positive pour x>1 (fonction f(x) croissante).
Concernant la question 2:
Ramener 1/x + 1/y à une seule fraction -on doit obtenir (x+y)/xy. Ensuite, démontrer que 1/(x+y) < (x+y)/xy est plus facile en inversant les fractions, c'est à dire : démontrer que x+y > xy/(x+y). Il suffit de manipuler les formules de part et d'autre pour les ramener à un dénominateur commun.
Bon courage pour vos calculs.

1) Pour tout , , ce qui est vrai car un carré est toujours positif.

2) Pour , ce qui est vrai puisque .

Merci, beaucoup j'essaye de faire le tri dans ce que vous m'avez indiquer et de bien tout comprendre.

Effectivement, j'ai fais une erreur dans mon énnocé c'est :
1) Démontrer que pour tout réel non nul x,  |x + 1/x| > 2

Des rectifications à faire sur vos démonstrations?

Ton énoncé est faux: l'inégalité est large et non stricte: faire x=1.
Sinon il n'y a pas à modifier ma démonstration, simplement rajouter:
si x>0 alors |x+1/x|=x+1/x; si x<0, x=-X avec X=-x>0, alors |x+1/x|=|-(x+1/x)|=|X+1/X|, et on s'est ramené au cas précédent en X.

Je suis totalement embrouillée lol.

Pour le 2) j'ai essayé plusieur chose mais jene sais pas si l'une d'entre elles est juste.
(Dremi, j'ai proposé ta solution à mon prof de maths qui m'a alors dit que j'avais cherché bcp trop compliqué. Après tout aparament se ne sont que des exercices les plus dures que l'on peut avoir en seconde, en clair de révision... :s)

Si non voilà ce que j'ai trouvé de moin bizar et de plus probable pour le 2)
En sachant que je ne suis pas du tout sur de mes résultats qui me sembles très bizar, erreur de calcul? peut-être. J'esper que vous me direz se que vous en pensé.Alors voilà,

possibilité:

1/(x+y) < 1/x + 1/y
javascript:symbole('');  1/(x+y) - 1/x - 1/y < 0
xy/(x^2+xy^2+y^2)- xy+y^2/(x^2+xy^2+y^2)- x^2+xy/(x^2+xy^2+y^2) < O
(xy-(xy+y^2)-(x^2+xy))/(x^2+xy^2+y^2) < 0
(xy-xy-y^2-x^2-xy)/(x^2+xy^2+y^2) < 0
(étape de simplification du dénominateur et du numérateur)
-xy < O
xy > 0
:s

Et pour le 1), je suis certaine que mon énoncé est juste c'est bien :
"Démontrer que pour tout réel non nul x,      |x + 1/x|  22"
Et là par contre je patoge commmmmmplètement :'(.

D'autres idées ???

Pour 2), il y a en effet un peu plus simple que ma méthode détaillée sur une ligne (c'est pas monstrueux) mais étant donné que cette inégalité ne présente aucun intérêt (la preuve, c'est qu'elle est équivalente à mon , qui est "trop vraie"), je m'excuse moi-même. Voilà la preuve plus courte:


Pour 1), il n'y a pas plus simple que ma démonstration (en une ligne, ou deux pour traiter aussi le cas ).