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Injection et surjection (caractérisation II)
Bonjour!
Soient X et Y deux ensembles. Soit f: X
Y une application.
1) Soit l'application qui à une partie A de X associe la partie f(A) de Y.
i) Montrer que f est injective si et seulement si l'est.
ii)Montrer que f est surjective si et seulement si l'est.
2) Soit l'application qui à une partie B de Y associe la partie f-1(B) de X.
i)Montrer que f est injective si et seulement si est surjective.
ii) Montrer que f est surjective si et seulement si est injective.
Merci d'avance.
Concernant 1)i):
On suppose que f est injective et on montre que l'est aussi.
On suppose que est injective et on montre que f l'est aussi.
?
Ce n'est pas bon : tu n'as pas considéré tous les éléments de (j'utilise ce P car je le préfère), mais seulement les singletons
Concernant 1)ii):
On suppose que f est surjective et montre que l'est aussi.
On suppose que est surjective et on montre que f l'est aussi:
?
Salut Zormuche!
Merci pour avoir répondu.
Je n'ai pas vu votre message (messages croisés). Je vais considérer ce que vous avez dit.
Ce n'est pas bon : tu n'as pas considéré tous les éléments de
Cette remarque concerne uniquement le cas où on montre que
Si je considère A et B deux parties de X telles que f(A)=f(B), j'en pourrai conclure (par symétrie des rôles) que pour tout a élément de A, il existe b élément de B tel que: f(a)=f(b). Et puisque f est injective alors a=b. En fait a est pris qqconque et b dépend de a (qqconque également), on en conclut que A=B. Mais je me doute de tout ce qui est en rouge...
Ca dépend. Tu as deux définitions équivalentes de l'injectivité :
Je vois que tu préfères la première, personnellement je trouve la deuxième plus commode dans cet exercice car il est plus rapide de montrer que deux ensembles sont différents que de montrer qu'ils sont égaux. Mais tu fais comme tu veux
Avec la première : il faut montrer que si les ensembles sont égaux, alors les ensembles
sont égaux. Donc on prend un
et on montre qu'il est dans
. Puis on prend un
dans B, et on montre qu'il est dans
Si je considère A et B deux parties de X telles que f(A)=f(B), j'en pourrai conclure (par symétrie des rôles) que pour tout a élément de A, il existe b élément de B tel que: f(a)=f(b). Et puisque f est injective alors a=b. En fait a est pris qqconque et b dépend de a (qqconque également), on en conclut que A=B. Mais je me doute de tout ce qui est en rouge...
Là, tu montres que A est inclus dans B. L'inclusion inverse se montre exactement pareil (il suffit de changer le nom des lettres...), donc tu peux te passer de la démontrer en disant que A et B sont pris de façon similaire donc le cas est symétrique
Cette remarque concerne uniquement le cas où on montre que \Phi est injective n'est ce pas?
Oui, pour les cas réciproques il suffit d'assimiler les éléments de X à leurs singletons respectifs, et les propriétés (surjectivité et injectivité) sont obtenues immédiatement par restriction de
Là, tu montres que A est inclus dans B. L'inclusion inverse se montre exactement pareil (il suffit de changer le nom des lettres...), donc tu peux te passer de la démontrer en disant que A et B sont pris de façon similaire donc le cas est symétrique
D'accord, merci beaucoup! ^^
Pour 2)i):
Dire que: f est injective donc pour toute partie F de Y, f-1(f(F))=F. On pose alors G= f(F). Donc, il existe G de tel que: F=f-1(G), c-à-d: F=
, d'où
est surjective.. est correct on non?
Il me semble que tu as déjà traité un exercice similaire en tout point sur ce sujet :
Injectivité et surjectivité
non ?
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