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Injection et surjection (caractérisation II)

Posté par
Yona07 22-10-21 à 23:31

Bonjour!

Soient X et Y deux ensembles. Soit f: XY une application.

1) Soit \Phi :\mathfrak{P}(X)\rightarrow \mathfrak{P}(Y) l'application qui à une partie A de X associe la partie f(A) de Y.

i) Montrer que f est injective si et seulement si \Phi l'est.
ii)Montrer que f est surjective si et seulement si \Phi l'est.

2) Soit \Psi :\mathfrak{P}(Y)\rightarrow \mathfrak{P}(X) l'application qui à une partie B de Y  associe la partie f-1(B) de X.

i)Montrer que f est injective si et seulement si \Psi est surjective.
ii) Montrer que f est surjective si et seulement si  \Psi est injective.

Merci d'avance.

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:02

Concernant 1)i):

On suppose que f est injective et on montre que \Phi l'est aussi.

\text{Soient } \{x\}\text{ et }\{y\} \text{ deux éléments de } \mathfrak{P}(X) \text{ tels que } \Phi (\{x\})=\Phi (\{y\}), \text{ c-à-d: } f(\{x\})=f(\{y\}). \\\text{On a: }f(\{x\})=f(\{y\}), \text{ donc: } \{f(x)\}=\{f(y)\},\text{ ainsi: } f(x)=f(y). \\\text{Et puisque f est injective alors: }x=y\text{ d'où } \{x\}=\{y\}. \\\text{Par conséquent: }\Phi \text{ est injective}.

On suppose que \Phi est injective et on montre que f l'est aussi.

\text{Soient x et y deux éléments de X tels que: f(x)=f(y)}.\\ \text{On a: } f(x)\in \{f(x)\}\text{ et } f(y)\in \{f(y)\}.\\\text{En fait: f(x)=f(y) , alors } \{f(x)\}= \{f(y)\},\text{ c-à-d: }f(\{x\})=f(\{y\}). \\\text{Puisque }\Phi \text{ est injective alors } \{x\}= \{y\}\text{ donc: x=y, d'où l'injectivité de f}.



?

Posté par
Zormuchere : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:07

Ce n'est pas bon : tu n'as pas considéré tous les éléments de  \mathcal{P}(X)  (j'utilise ce P car je le préfère), mais seulement les singletons

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:20

Concernant 1)ii):

On suppose que f est surjective et montre que \Phi l'est aussi.

\text{Soit }\{y\}\in \mathfrak{P}(Y).\\ \text{On a }y\in Y, \text{ donc il existe }x\in X\text{ tel que } f(x)=y \text{ (d'après la surjectivité de f)}\\\text{Alors: }\{y\}=\{f(x)\}=f(\{x\})\\\text{Ainsi, il existe }\{x\}\in \mathfrak{P}(X) \text{ tel que: } \{y\}=f(\{x\}),\text{ d'où la surjectivité de }\Phi.

On suppose que \Phi est surjective et on montre que f l'est aussi:

\text{Soit }y\in Y. \\\text{On a }\{y\}\in \mathfrak{P}(Y), \text{alors il existe } \{x \} \in\mathfrak{P}(X)\text{ tel que: }f(\{x \} )=\{y\} \text{ (d'après la surjectivité de }\Phi )\\\text{Alors: } \{f(x)\}=\{y\}\\\text{Donc: }f(x)=y\\\text{Ainsi, il existe x de X tel que f(x) =y, d'où la surjectivité de f.}

?

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:22

Salut Zormuche!
Merci pour avoir répondu.
Je n'ai pas vu votre message (messages croisés). Je vais considérer ce que vous avez dit.

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:28

Pouvez-vous me donner des indications?

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:42

Zormuche @ 23-10-2021 à 00:07

Ce n'est pas bon : tu n'as pas considéré tous les éléments de  \mathcal{P}(X)  (j'utilise ce P car je le préfère), mais seulement les singletons


Cette remarque concerne uniquement le cas où on montre que \Phi est injective n'est ce pas?

Si je considère A et B deux parties de X telles que f(A)=f(B), j'en  pourrai conclure (par symétrie des rôles)  que pour tout a élément de A, il existe b élément de B tel que: f(a)=f(b). Et puisque f est injective alors a=b. En fait a est pris qqconque et b dépend de a (qqconque également), on en conclut que A=B. Mais je me doute de tout ce qui est en rouge...

Posté par
Zormuchere : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:46

Ca dépend. Tu as deux définitions équivalentes de l'injectivité :

\forall A,B\in \mathcal{P}(X),\quad \Phi(A)=\Phi(B)~\Longrightarrow ~A=B

\forall A,B\in \mathcal{P}(X),\quad A\ne B ~\Longrightarrow~ \Phi(A)\ne \Phi(B)

Je vois que tu préfères la première, personnellement je trouve la deuxième plus commode dans cet exercice car il est plus rapide de montrer que deux ensembles sont différents que de montrer qu'ils sont égaux. Mais tu fais comme tu veux

Avec la première : il faut montrer que si les ensembles  \Phi(A),\Phi(B)  sont égaux, alors les ensembles  A,B  sont égaux. Donc on prend un  a\in A et on montre qu'il est dans B. Puis on prend un  b\in B dans B, et on montre qu'il est dans  A

Posté par
Zormuchere : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 00:49

Citation :
Si je considère A et B deux parties de X telles que f(A)=f(B), j'en  pourrai conclure (par symétrie des rôles)  que pour tout a élément de A, il existe b élément de B tel que: f(a)=f(b). Et puisque f est injective alors a=b. En fait a est pris qqconque et b dépend de a (qqconque également), on en conclut que A=B. Mais je me doute de tout ce qui est en rouge...


Là, tu montres que A est inclus dans B. L'inclusion inverse se montre exactement pareil (il suffit de changer le nom des lettres...), donc tu peux te passer de la démontrer en disant que A et B sont pris de façon similaire donc le cas est symétrique

Posté par
Zormuchere : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 01:00

Citation :
Cette remarque concerne uniquement le cas où on montre que \Phi est injective n'est ce pas?


Oui, pour les cas réciproques il suffit d'assimiler les éléments de X à leurs singletons respectifs, et les propriétés (surjectivité et injectivité) sont obtenues immédiatement par restriction de  \Phi  à l'ensemble des singletons

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 08:33

Zormuche @ 23-10-2021 à 00:49


Là, tu montres que A est inclus dans B. L'inclusion inverse se montre exactement pareil (il suffit de changer le nom des lettres...), donc tu peux te passer de la démontrer en disant que A et B sont pris de façon similaire donc le cas est symétrique


D'accord, merci beaucoup! ^^

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 15:15

Salut!
Des indications pour 2)i) SVP.

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 17:46

Pour 2)i):
Dire que: f est injective donc pour toute partie F de Y,  f-1(f(F))=F. On pose alors G= f(F). Donc, il existe G de \mathfrak{P}(X) tel que: F=f-1(G), c-à-d:  F=\Psi (G), d'où  \Psi est surjective.. est correct on non?

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 20:20

Salut?

Posté par
Zormuchere : Injection et surjection (caractérisation II) 23-10-21 à 21:01

Il me semble que tu as déjà traité un exercice similaire en tout point sur ce sujet :
Injectivité et surjectivité

non ?

Posté par
Yona07re : Injection et surjection (caractérisation II) 24-10-21 à 10:00

Vous avez raison. Je l'ai totalement oublié!
Merci énormément!


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