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Injectivité et surjectivité
Bonjour!
Soit f une application de E dans F.
On définit l'application par:
Y
F, g(Y)=f-1(Y).
1/ Montrer que g est injective 
f est surjective.
2/Montrer que g est surjective f est injective.
Merci d'avance!
Concernant 1:
On montre que: f surjective 
g injective.
Supposons que g n'est pas injective; c-à-d qu'il existe A et B de tels que: g(A)=g(B) et A
B
Ainsi:
f-1(A)=f-1(B) et AB
Par la suite:
f(f-1(A))=f(f-1(B)) et AB
D'où: A=B et AB (absurde) (f(f-1(A))=A car f est surjective)
Pour la réciproque, j'ai pensé à qqch mais j'en suis pas sûre:
On montre que g injective f surjective.
Soit Y
g est injective donc: g-1(g(Y))=Y, alors f(f-1(Y))=Y. D'où f est surjective...
J'ai pris g-1=f mais je m'en doute..
Bonjour Yona07.
Il ne faut pas chercher des choses compliquées.
Restons donc collés aux définitions générales.
Concernant 1.
Hypothèse : g est injective.
Donc pour toute partie .
Le but est de montrer que f est surjective.
Soit donc et trouvons au moins un x dans E tel que
.
Prenons donc et
.
On a bien . Que dire alors de
?
Hypothèse : f est surjective.
Donc pour tout il existe moins un x dans E tel que
.
Le but est de montrer que g est injective.
Soient donc X et Y deux parties de F telles que et montrons que
.
Comme alors X ou Y n'est pas vide. Supposons que ce soit X. Il existe donc
tel que
.
En écrivant que peux-tu dire de
comparé à
?
Bonjour jsvdb!
Merci pour avoir répondu.
Que dire alors de
f-1(Y)
, d'où l'existence d'un x dans E (f-1(Y)E) tel que f(x)=y. Ainsi, f est surjective.
En écrivant
f-1(X)= f-1({x}
X-{x})
= f-1({x})
f-1(X-{x})
Alors : f-1(X)
f-1(Y) (puisque f-1({x}) n'est pas inclus dans f-1(Y))
D'où, g(X)
g(Y). Ainsi, g est injective.Concernant 2;
On suppose que g est surjective . On montre que f est injective.
Soient X et Y deux parties de E telles que: f(X)=f(Y). On montre que X=Y.
f(X)=f(Y)f-1(f(X))=f-1(f(Y))X=Y.
(g est surjective donc f-1 est surjective. Par la suite (AF), f-1(f(A))=A)
f-1(X)= f-1({x}
X-{x})
= f-1({x})
f-1(X-{x})
Alors : f-1(X)
f-1(Y) (puisque f-1({x}) n'est pas inclus dans f-1(Y))
D'où, g(X)
g(Y). Ainsi, g est injective.sur la partie rouge, il faut être plus précis :
- rappelle toi que l'ensemble vide est toujours inclus dans n'importe quel ensemble ! Donc dire pourquoi
- et "n'est pas inclus" suffit effectivement pas pour conclure : en réalité, on a plus fort puisque
Concernant 2;
On suppose que g est surjective . On montre que f est injective.
Soient X et Y deux parties de E telles que: f(X)=f(Y). On montre que X=Y.
f(X)=f(Y)
f-1(f(X))=f-1(f(Y))X=Y.
(g est surjective donc f-1 est surjective. Par la suite (
AF), f-1(f(A))=A)Non, montrer que f est injective, c'est prendre deux éléments x,y dans E et montrer que
Dire que g est surjective signifie que pour toute partie X de E, il existe une partie Y de F telle que g(Y) = X c'est-à-dire
Donc ici, il va être de bon ton de considérer les parties {x} et {y} de E : on a
Il existe donc deux parties X et Y dans F telles que
si si, c'est bon : c'est juste qu'il faut justifier un peu !
(à ce niveau, on ne peut pas conclure que
en général : il faudrait que f soit surjective)
On a donc X a pour seul élément seul élément f(x) (sinon x a plusieurs image ... oops !).
Donc X = {f(x)}
De même Y = {f(y)}
Par suite
Par conséquent et
[ Sinon, si , alors
et
contiendrait au moins x et l'on ne pourrait avoir (*) ]
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