Niveau exercices

Integrale

Posté par
flight 04-11-24 à 17:16

Bonjour

Pour continuer avec le calcul d'integrales mettant en jeu des parties entières, je vous propose l'exercice suivant
E(x)) dx pour x compris entre 0 et n.

Posté par re : Integrale 04-11-24 à 18:30

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Pas très lisible, mais latex ne fonctionne pas, donc on fait comme on peut

Posté par re : Integrale 04-11-24 à 18:34

Erreur d'indice dans la dernière somme : elle court jusqu'à N et pas N-1, donc le résultat devrait être

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Posté par re : Integrale 05-11-24 à 17:43

Bonsoir,
$\LaTeX$ fonctionne à nouveau.

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Posté par re : Integrale 05-11-24 à 17:47

La dernière intégrale n'est pas $\begin{aligned} \int\nolimits_m^n m\text{d}x\end{aligned}$ mais $\begin{aligned} \int\nolimits_{m^2}^n m\text{d}x\end{aligned}$

Posté par re : Integrale 05-11-24 à 22:06

Bonjour,

cet exercice est très fortement lié à l'autre sujet intégrale

En effet si on pose $B_p(x)=\int_0^x\lfloor t^{1/p}\rfloor dt$ pour $p$ et $x$ dans $\R_+^*$ , $\lfloor t\rfloor$ désignant la partie entière de $t$ , on a en posant $t=u^p$ :
$B_p(x)=\int_0^{x^{1/p}}\lfloor u\rfloor pu^{p-1}du=A_p(x^{1/p})$ (voir l'autre sujet intégrale ).

Avec la valeur trouvée pour $A_p(x)$ on déduit : $B_p(x)=nx-\sum_{k=1}^nk^p$ en notant $n=\lfloor x\rfloor$ .