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Intégration

Posté par
pppa
25-06-15 à 20:00

Bonjour

j'ai besoin d'aide/conseil pou terminer cet execice svp.

1/ Trouver une primitive de la fonction f définie sur par f(x) = cos3x.

Je trouve \sin x -\dfrac{1}{3}\sin^3 x, ce qui me paraît correct en redérivant..

2/En déduire, par une IPP, I(a) = \Int_0^a x.\cos^2 x. x. \sin x.dx

où a est un réel donné

                                    ---------------------


Si j'écris cos² x.sin x = sin x - sin3x, comment je traite ensuite le produit restant x.x ?
Pour l'instant je ne vois pas comment déduire de la question 1 une astuce permettant de répondre à la question 2.

Merci par avance pour votre aide

Posté par
Raptor
reponse 25-06-15 à 20:09

Bonsoir,

pose u = x^2 et v' = cos^2(x)*sin(x)

Posté par
carpediem
re : Intégration 25-06-15 à 20:33

salut

sauf que ça ne sera pas suffisant ...

Posté par
Raptor
reponse 25-06-15 à 20:37

ben oui faudra faire une 2eme IPP

Posté par
carpediem
re : Intégration 25-06-15 à 21:02

certes oui ... mais ....

Posté par
pppa
re : Intégration 26-06-15 à 00:50

Après une ipp je vois le lien avec la question 1 puis 2ème ipp.

Après calculs pas méchants mais demandant bcp de concentration je trouve

-\dfrac{a^2}{3}\cos^3 a +\dfrac{2}{3}[a(\sin a - \dfrac{1}{3}\sin^3 a)] + \dfrac{2}{3}\cos a - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9}(-\cos a + \dfrac{1}{3}\cos^3 a) + \dfrac{4}{27}

Un test avec /2 et /5 me paraît concluant, et vous qu'en dites vous?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Intégration 26-06-15 à 12:40

tu peux toujours vérifier avec Wolfram :

Posté par
pppa
re : Intégration 26-06-15 à 17:30

>> Glapion

Merci pour le lien.
Il y avait une petite erreur

Posté par
Jedoniezh
re : Intégration 27-06-15 à 08:35

Bonjour,

Tu pouvais aussi passer par la linéarisation suivante :

\underbrace{cos^3x=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^3}_{\text{Formule d'Euler}}=\frac{1}{2^2}(\frac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}{2})=\frac{1}{4}(\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2}+\frac{3(e^{ix}+e^{-ix})}{2})=\frac{1}{4}(cos(3x)+3cos(x))

Posté par
pppa
re : Intégration 27-06-15 à 10:23

oui,  merci. Mais lorsque l'énoncé demande une IPP, ça n'incite pas à linéariser avec les nbres cplx !
(honnêtement, je n'y avais pas pensé   )

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Intégration 27-06-15 à 11:41

S x.cos²(x).x.sin(x) dx

IPP :
Poser 3.cos²(x).sin(x) dx = dv --> v = -cos³(x)
et poser u = x²/3 --> du = (2/3).x dx

S x.cos²(x).x.sin(x) dx = -x².cos³(x)/3 + (2/3). S x.cos³(x) dx  (1)
---
S x.cos³(x) dx

IPP :
Poser cos³(x) dx = dv --> v = sin(x) - (1/3).sin³(x) (venant de la question 1/)
et poser x = u --> dx = du

S x.cos³(x) dx = x.sin(x) - (1/3).x.sin³(x) - S (sin(x) - (1/3).sin³(x)) dx
S x.cos³(x) dx = x.sin(x) - (1/3).x.sin³(x) + cos(x) + (1/3) S sin³(x) dx
S x.cos³(x) dx = x.sin(x) - (1/3).x.sin³(x) + cos(x) + (1/3) S sin(x).(1-cos²(x)) dx
S x.cos³(x) dx = x.sin(x) - (1/3).x.sin³(x) + cos(x) + (1/3) S sin(x) dx - (1/3). S (sin(x).cos²(x)) dx
S x.cos³(x) dx = x.sin(x) - (1/3).x.sin³(x) + cos(x) - (1/3) cos(x) + (1/9). cos³(x)

Remis dans (1) -->

S x.cos²(x).x.sin(x) dx = - x².cos³(x)/3 + (2/3).[x.sin(x) - (1/3).x.sin³(x) + (2/3).cos(x) + (1/9). cos³(x)]

S(de0 à a) x.cos²(x).x.sin(x) dx = - a².cos³(a)/3 + (2/3).[a.sin(a) - (1/3).a.sin³(a) + (2/3).cos(a) + (1/9). cos³(a)] - (2/3).[(2/3) + (1/9)]

S(de0 à a) x.cos²(x).x.sin(x) dx = - a².cos³(a)/3 + (2/3).[a.sin(a) - (1/3).a.sin³(a) + (2/3).cos(a) + (1/9). cos³(a)] - 14/27
-----

Sauf distraction.  

Posté par
pppa
re : Intégration 28-06-15 à 10:15

Merci à celles/ceux qui sont intervenus, tout particulièrement à JP qui a pris la peine de tout détailler. JP toujours très pédagogique! Merci.
En fait mon calcul initial était bon, je n avais pas simplifié aux mêmes endroits/moments que Wolfram

Posté par
Jedoniezh
re : Intégration 28-06-15 à 13:52

Au plaisir.



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