Niveau autre

irrationnel...

Posté par
aurelie231 04-10-06 à 10:53

Bonjour,
j'ai vraiment besoin d'aide pour cet exo, svp :

L'objectif est d'approcher racine de 2 d'aussi près que l'on veut par des nombres rationnels.

1) Montrer que si alpha est une valeur approchée par excès de racine de 2, 2/alpha est une valeur approchée par défaut. Montrer alors que, si alpha est compris entre 1 et 3, la moyenne arithmétique de ces deux valeurs approchées, c'est à dire 1/2(alpha +2/alpha), est un nombre supérieur à racine de 2 et qui est une meilleure valeur approchée de racine de 2 que alpha.

2) On considère alors la suite (Un) définie par U0 = 2 et Un+1 = 1/2(Un + 2/Un).

a) En utilisant un raisonnement par récurrence, montre que la suite (Un) est minorée par racine de 2 et étudier son sens de variation.

b) En déduire que la suite converge, puis que sa limite est racine de 2. La limite d'une suite de nombres rationnels est-elle nécessairement un nombre rationnel ?

Voilà le début de l'exo.
Merci d'avance
A+

Posté par irrationnel... 04-10-06 à 11:24

Bonjour.
J'appelle plutôt a cette valeur approchée.
1°) $2$\textrm\sqrt{2}\le a \Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\ge \frac{1}{a}$
En multipliant par 2 et en simplifiant par 2 :
$2$\textrm\sqrt{2}\le a \Longrightarrow \sqrt{2}\ge \frac{2}{a}$ .
On a donc bien l'encadrement :
$2$\textrm\frac{2}{a}\le \sqrt{2}\le a$ .
Appelons m la moyenne de a et de 2/a
Il faut alors calculer (m - 2)(m + 2).
Je trouve :
$2$\textrm\frac{1}{4}(a - \frac{2}{a})^2$ .
Ce résultat est strictement positif, donc,
comme m + 2 est positif, m - 2 l'est aussi.
Ceci prouve que :
$2$\textrm : \sqrt{2} < m$ .
Pour la suite, je suis un peu géné par ta condition : 1 < a < 3. Ne serait-ce pas plutôt :
2 < a < 3, car a est supposée être une valeur par excès de 2.
Peux-tu me renseigner ?
A plus RR.

Posté par re : irrationnel... 04-10-06 à 11:29

Dans mon énoncé, alpha est bien compris entre 1 et 3.
A+ et merci

Posté par re : irrationnel... 04-10-06 à 11:32

Pourquoi vous faites (m - racine de 2)(m + racine de 2) ? Je ne comprends pas trop...

Posté par re : irrationnel... 04-10-06 à 11:57

On te demande de prouver que m > 2, donc je calcule m - 2.
Mais comme le calcul ne permet pas de conclure, je multiplie par m + 2, ce qui ne change rien au signe, mais qui permet de conclure.
Pour prouver que a > m, je calcule a - m, J'obtiens :
$2$\textrm a - m = \frac{a^2 - 2}{2a}$
La fonction :
$2$\textrm f : x\to \frac{x^2 - 2}{2x}$
est croissante, donc 2 < a < 3 entraine f(2) < f(a) < f(3) soit : 0 < f(a) < 7/6.
Ceci donne donc : a - m > 0.
En définitive :
$2$\textrm\frac{2}{a} < \sqrt{2} < m < a$
où m désigne le milieu de 2/a et de a.
A plus RR.