Bonjour quand même

On cherche les fonctions affines f involutive ( c'est a dire qui vérifient fof(x)=x)

Notons : f(x)=ax+b

Alors (fof)(x)=a(ax+b)+b=a²x+ab+b

Donc pour que (fof)(x)=x

Il faut :
a²x+ab+b=x

soit a et b vérifient le systéme :

<=>
ou

c'est a dire :
ou

Les fonctions f affines involutives sont donc :
ou , k décrivant

f(0)=f(-0)=-f(0) (puisque f est impaire , f(-x)=-f(x)

Donc ayant : f(0)=-f(0) on a forcémment f(0)=0

Pour la deuxiéme question , c'est un énoncé fréquent sur le site , utilises la barre de recherche

Salut,

Voici la réponse :
1)a)fof(x)=xa(ax+b)+b=xa²x+abx=xa²=1 at ab=0a=1 ou a=-1 et b=0
donc f(x)=x et f(x)=-x sont les 2 seules solutions

b)si fimpaire alors f(-x)+f(x)=0
de plus f(0) existe alors pour x=0 on obtient:
f(-0)+f(0)=02f(0)=0f(0)=0

2)a)g(x)=(f(x)+f(-x))/2 où g définie sur
est symétrique par rapport à 0
et g(-x)=(f(-x)+f(x))/2
g(x)=(f(x)+f(-x))/2
donc g(-x)=g(x)
donc g est paire sur

De même h(x)=(f(x)-f(-x))/2 où h définie sur
est symétrique par rapport à 0
et h(-x)=)=(f(-x)-f(x))/2
d'où h(-x)+h(x)=)=(f(x)-f(-x))/2+(f(-x)-f(x))/2
                 =(f(x)-f(x))/2+(f(-x)-f(-x))/2
                 =0
donc h est impaire sur

Voilà..........

             =