Bonjour,
a = 0,12121212121212...
En collège/seconde:
Comme la période est 2, on cacule 100a - a
12, 1212121...
0, 121212121...
__________________
12
donc 99 a = 12
La réponse est 17 + 12/99
Le vice cachée de l'argumentation précédente
Elle contient un vice: lors de la soustraction, on applique un algorithme établi sur des nombres décimaux (finis !) à des écritures infinies.
Est-ce encore valide ? Il faudrait le démontrer.
On sait depuis longtemps que généraliser les calculs sur des écritures finies à des écritures infinies peut être source d'ennuis.
Exemple:
A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
D'un côté
A = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...
A = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0
D'autre part
A = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ...
A = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
A = 1
Et même pour faire comme précédemment
A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...
A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
_____________________________________________
2 A = 1 (en ajoutant membre à membre)
A = 1/2
Manifestement, il y a un problème ...
Les outils adéquats pour manipuler les écriture infinies sont les suites, les séries.
En 1 / terminale
a =
a =
Soit la limite d'une somme d'une suite géométrique de raison 1/100
bien que généraliser les calculs