considérez le repère orthonormé (A, i,j) i est porté par AB et j
est porté par AD.

dans ce repère les coordonnées des points M,N,P et Q sont:
M(x,0) ; avec x=AM.
N(2a,x);
P(2a-x,a)
Q(0,a-x)

le vecteur MQ=-xi+(a-x)j
le vecteur PN= (2a-2a+x)i+(x-a)j=xi+(x-a)j=-MQ

donc PN=QM  ; en vecteur.

donc le quadrilatère MNPQ est un paraléllogramme.

soit S son aire.

S=||QP^QM||; où || u || désigne la norme du vecteur u et QP^QM désigne le produit
vectoriel des deux vecteurs QP et QM;

QP^QM =((2a-x)i+xj)^(xi+(x-a)j)
              = ((2a-x)(x-a)i^j + x²j ^i
              = (-2x²+3ax-2a²)i^j

puisque ||i^j||=1

donc S=||QP^QM||=||(-2x²+3ax-2a²)i^j||
                                =|(-2x²+3ax-2a²)|*||i^j||
                                =|-2x²+3ax-2a²|

S=|-2x²+3ax-2a²|

D=9a²-16a²=-7a²<0  donc -2x²+3ax-2a²est dusigne de (-2)
c-à-d -2x²+3ax-2a²<0
donc

S=2x²-3ax+2a²


Sa dérivé S'(x)=4x-3a

S' s'annule en x=3a/4 en cette position de x S est minimale et
vaux

S(3a/4)=2*9a²/16  - 9a²/4 +2a²=7a²/8;  remarquez le terme en a² comme quoi S(3a/4)
a bien la dimension d'un surface (m²).

la position de M sur AB qui rend la surface MNPQ minimale est x=3a/4
pour laquelle S=7a²/8.

Voila.

Je vous remercie.