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Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:28

Et fait attention :

1) v=d/t donc t=d/v ... il me semble bien que tu as fais t=v*d !!

2) attention aux unités, tu donnes un temps en km/h ??

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:33

BY² = 40²+(50-y)²
BY = V(1600+2500-100y+y²)
BY = V(y²-100y+4100)
Temps mis pour parcourir BY : V(y²-100y+4100)/12 h.

AX² = 30²+x²
AX = V(900+x²)
Temps mis pour parcourir AX : V(900+x²)/40 h.

XY² = 10²+(y-x)²
XY = V(100+y²-2xy+x²)
XY = V(y²-2xy+x²+100)
Temps mis pour parcourir XY : V(y²-2xy+x²+100)/9 h.

Donc on cherche à minimiser 4$ t(x,y) = \frac{\sqrt{y^2-100y+4100}}{12} + \frac{\sqrt{900+x^2}}{40} + \frac{\sqrt{y^2-2xy+x^2+100}}{9}.

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:36

Ben écoute, ça me semble pas mal cette fonction

Pour ma part, je n'ai pas effectué les developpement, mais je crois bien que c'est la bonne ...

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:38

Maintenant je dérive une fois par rapport à x et une fois par rapport à y ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:47

Oui, tu peux calculer les 2 dérivées partielles, mais tu tomberas sur un système de 2 équations qui est ... insoluble de manière exacte !! (et je dis bien SYSTEME d'équations, car les 2 derivées partielles doivent s'annuler en même temps).

Dans la correction que je donnerai, je me suis arreté là, puis j'ai cherché le minimum de cette fonction t(x;y) ...

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:48

J'essaierai ça cet après midi alors

Merci

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:50

Ok, je te laisse aller travailler ton français, il faut bien que tu gagnes des points avec cette matière, car à mon avis, en maths l'année prochaine, tu vas te planter

Et moi, j'ai mes dérnières copies de l'année à corriger ... ce sont les meilleures

Posté par
lyonnaisre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 11:23

Bonjour à tous les deux

En faisant confiance à Estelle pour la fonction (:D) :

JFF : L\'escapade de Flore Madoudou

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 11:28

Bonjour lyonnais,

donc, que proposes-tu comme réponse (en heures, minutes et secondes) ??

Ce que tu as écris provient d'un logiciel ??

Posté par
lyonnaisre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 11:35

Bonjour

Dans ce cas, je proposerais :

\Large{\rm \fbox{\fbox{5 h 46 min 45 s}} (en arrondissant à la seconde la plus proche)

Oui, j'ai utiliser le logiciel Mathématica (payant)

Tu avais ce résultat ?

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 12:01

Oui, c'est bien la bonne réponse

Je proposerai une solution, ainsi qu'un autre approche ...

Posté par
lyonnaisre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 12:31

Merci à Estelle d'avoir fait tout le travail préparatoire :D

J'avais juste à demander au logiciel la réponse ( parce que les calculs sont quand même assez important sinon ... )

J'attend la solution et l'autre approche.

Bonne journée

PS : j'ai posté pour le problème de l'équerre (beau problème)

Romain

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 12:39

De toute façon, on ne peut pas le résoudre "à la main" ...

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 12:55

De rien Romain même si je n'ai fait qu'utiliser 3 fois Pythagore

Et merci Jamo pour la JFF

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 20:22

Voici les 2 solutions que je propose, qui font appel à une résolution numérique ; le solveur d'Excel trouve parfaitement la solution.


Pour cela, on appelle X le point où Flore Madoudou arrive dans l'eau, et Y le point où elle sort de l'eau. Ces 2 points sont repérés par les longueurs x et y (voir figure).

On appelle 3$ \alpha_1 , 3$ \alpha_2 et 3$ \alpha_3 les trois angles d'inclinaisons que font les trois morceaux du trajet par rapport à la "verticale".

De plus, on utilise un repère 3$ (A;\vec{i},\vec{j}).

Remarque : ne pas oublier de mettre les longueur et les vitesses dans les bonnes unités ...


1. Minimisation de la durée du trajet

On appelle respectivement t1, t2 et t3 les durées correspondant au parcours en vélo, à la nage, et à la course. On a :

3$t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}

3$t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{\sqrt{(x-y)^2+b^2}}{v_2}

3$t_3 = \frac{d_3}{v_3} = \frac{\sqrt{(d-y)^2+c^2}}{v_3}

La durée totale du trajet est donnée par la fonction :

3$t(x,y) = t_1+t_2+t_3 = \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(x-y)^2+b^2}}{v_2} + \frac{\sqrt{(d-y)^2+c^2}}{v_3}

On peut calculer les dérivées partielles de cette fonction :

3$\frac{\partial t}{\partial x} = \frac{x}{v_1 \sqrt{a^2+x^2}} + \frac{x-y}{v_2 \sqrt{(x-y)^2+b^2}}

3$\frac{\partial t}{\partial y} = \frac{y-x}{v_2 \sqrt{(x-y)^2+b^2}} + \frac{y-d}{v_3 \sqrt{(d-y)^2+c^2}}

Malheureusement, la recherche des valeurs exactes des couples (x;y) qui annulent en même temps les 2 dérivées partielles est impossible ... (ou alors je n'ai pas réussi, mais j'en doute)

La recherche du minimum de la fonction 3$t(x,y), par une méthode numérique (le solveur d'Excel trouve la solution), donne les valeurs suivantes :

3$x \approx 38,46 km
3$y \approx 40,26 km
Donc : 3$t \approx 20805 secondes, soit 5 Heures 46 Minutes 45 Secondes



2. Utilisation de la loi de Snell-Descartes sur la réfraction

On utilise la loi de Snell-Descartes qu'on utilise pour la réfraction de la lumière : .


Donc, les angles 3$ \alpha_1 , 3$ \alpha_2 et 3$ \alpha_3 sont tels que :

3$\frac{\sin(\alpha_1)}{\sin(\alpha_2)}=\frac{v_1}{v_2}

3$\frac{\sin(\alpha_2)}{\sin(\alpha_3)}=\frac{v_2}{v_3}

En utilisant les triangles rectangles présents sur la figure, on obtient aisément :

3$\sin(\alpha_1) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}

3$\sin(\alpha_2) = \frac{y-x}{\sqrt{(x-y)^2+b^2}}

3$\sin(\alpha_3) = \frac{d-y}{\sqrt{(d-y)^2+c^2}}


Les égalités entre les rapports des sinus et les rapports des vitesses conduisent aux 2 équations suivantes :

3$ \frac{x}{v_1 \sqrt{a^2+x^2}} = \frac{y-x}{v_2 \sqrt{(x-y)^2+b^2}}

3$ \frac{y-x}{v_2 \sqrt{(x-y)^2+b^2}} = \frac{d-y}{v_3 \sqrt{(d-y)^2+c^2}}

Et si vous avez bien suivi, ces 2 équations correspondent exactement à celles qu'on obtient si on annule les 2 dérivées partielles calculées dans la méthode 1 (heureusement, c'est ainsi qu'on démontre la loi de Descartes, en écrivant que la dérivée s'annule ...).

Bref, nous revoilà donc au même point, c'est-à-dire qu'on cherche les couples (x;y) qui sont solutions de ce système de 2 équations.

On peut aussi un peu manipuler ces équations afin de supprimer les racines carrées et de ne plus avoir de quotients ; on obtient :

3$ (v_2)^2 x^2 (b^2 + (x-y)^2) = (v_1)^2 (a^2 + x^2)(y-x)^2

3$ (v_3)^2 (y-x)^2 (c^2 + (d-y)^2) = (v_2)^2 (d-y)^2 (b^2 + (x-y)^2)

Mais là encore, pas moyen de résoudre ce système d'équations !!

Bref, une résolution numérique de ces 2 équations donne bien la même solution.

Conclusion : Flore Madoudou met donc au minimum 5 Heures 46 Minutes 45 Secondes.

Bravo à toux ceux qui ont cherché et qui dont parvenus à la solution

JFF : L\'escapade de Flore Madoudou

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 29-05-07 à 06:23

Merci Jamo pour cette JFF

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 29-05-07 à 08:21

Ok Estelle, alors éspérons que la prochaine te plaira aussi, il s'agit aussi de trouver le chemin le plus rapide entre 2 points ... je la poste aujourd'hui ou demain ...

Posté par
Skopsre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 29-05-07 à 09:35

Sympa

Skops

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 29-05-07 à 09:36

Je livre aussi une petite image qui donne le temps de parcours (en secondes) en fonction des valeurs prises par x et y.

JFF : L\'escapade de Flore Madoudou

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