Niveau exercices

JFF... ou pas !

Posté par
carpediem 09-01-21 à 19:52

salut

soit $(un_)$ la suite définie par son premier terme $u_0 > 0$ et la relation de récurrence $u_{n + 1} = u_n + \dfrac 1 {u_n}$

évidemment cette suite est positive et croissante ... et on démontre que sa limite est $+\infty$ soit par l'absurde soit comme je l'ai proposé ici : Suites numeriques en proposant la minoration : $u_n \ge \dfrac 1 2 (u_0 + \sqrt {u_0^2 + 4n} )$ _{^{en espérant ne pas avoir commis d'erreur ...}}

ma question : donner un équivalent de $u_n$ ... à l'ordre 1, 2, ... plus ...

PS : il n'est pas nécessaire de blanker ...

merci par avance et amusez-vous bien

Posté par re : JFF... ou pas ! 09-01-21 à 23:19

Salut

En traçant 1000 termes ça m'a tout l'air d'être en $O(\sqrt{2n})$

il n'est pas précisé qu'il faut le justifier mathématiquement

Posté par re : JFF... ou pas ! 10-01-21 à 07:28

Bonjour,
Ce n'est pas ma spécialité :
Je postule u=-1

Posté par re : JFF... ou pas ! 10-01-21 à 10:07

Zormuche @ 09-01-2021 à 23:19

il n'est pas précisé qu'il faut le justifier mathématiquement

en mathématiques ce n'est pas le but mais le chemin qui importe

et ce qui m'intéresse en fait c'est d'avoir la démonstration !!

PS : je n'ai pas la réponse ...

Posté par re : JFF... ou pas ! 10-01-21 à 10:42

Bonjour carpediem,

il y a plusieurs démonstrations possibles. Je donne la plus courte.

1) $(u_n)$ est croissante et non majorée, sinon elle convergerait vers $\ell$ avec $\ell=\ell+\dfrac1{\ell}$ donc $\lim(u_n)=+\infty$

2) $u_{n+1}^2-u_n^2=2+\dfrac1{u_n^2}$ a pour limite 2 donc par le théorème de Césaro $u_n^2\sim 2n$ et $u_n\sim \sqrt{2n}$

Posté par re : JFF... ou pas ! 10-01-21 à 11:08

ha super merci jandri !!

et c'est "si simple" !!!

Posté par re : JFF... ou pas ! 10-01-21 à 17:05

On peut aller plus loin.

De $u_{n+1}^2-u_n^2-2\sim\dfrac1{2n}$ on déduit par sommation des équivalents : $u_n^2-2n\sim\dfrac12\ln(n)$ .

Puis $u_{n+1}^2-u_n^2-2-\dfrac1{2n}=\dfrac{2n-u_n^2}{2nu_n^2}\sim -\dfrac{\ln(n)}{8n^2}$ entraine qu'il existe $C=\lim( u_n^2-2n-\dfrac12\ln(n))$ .