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Suites numeriques

Posté par
txxx 09-01-21 à 16:06

Bonsoir !
Je suis bloqué face à une question sur un exercice et je sollicite votre aide.
On pose u_{0} strictement positif et pour tout n N:,
u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}}

Montrer que lim u_{n} = +.
J'ai essayer de prendre A
et montrer qu'il existe un terme u_{n} qui lui sera supérieur mais je n'y arrive pas.

Posté par
Camélia Correcteurre : Suites numeriques 09-01-21 à 16:32

Bonjour

Je ne fais que passer!
Commence par montrer par récurrence que la suite est bien définie et strictement croissante. Ensuite suppose qu'elle possède une limite \ell et mets en évidence une contradiction.

Posté par
DOMOREASuites numeriques 09-01-21 à 17:01

bonjour Camélia,
pourquoi par récurrence ?

Posté par
Razesre : Suites numeriques 09-01-21 à 18:21

Bonjour,

Montrer que la suite est croissante.

Etudier peut-être f (x)=×+\frac 1 x

Posté par
matheuxmatoure : Suites numeriques 09-01-21 à 18:25

bonjour

pourquoi se compliquer la vie...

1 : suite à termes positifs (récurrence élémentaire)
2 : suite croissante (trivial après le 1)
3 : si bornée, alors ... voir idée de Camélia
4 : conclusion

Posté par
carpediemre : Suites numeriques 09-01-21 à 19:30

salut

j'aurai travaillé comme matheuxmatou pour 1/ et 2/ ...

pour la limite je propose une alternative avec une démonstration directe (et probablement pas loin d'avoir un équivalent ...)


u_0 = u_0 \\ u_1 = u_0 + \dfrac 1 {u_0} \\ ... \\ u_n = u_{n - 1} + \dfrac 1 {u_{n - 1}} \\ u_{n + 1} = u_n + \dfrac 1 {u_n}
------------------------------------------
u_{n + 1} = u_0 + \sum_0^n \dfrac 1 {u_k} \ge u_0 + \dfrac {n+ 1} {u_n}   car la suite (u_n) est croissante ...

donc u_n + \dfrac 1 {u_n } \ge u_0 + \dfrac {n + 1} {u_n} \iff u_n^2 - u_0 u_n - n \ge 0 \iff u_n \ge \dfrac 1 2 (u_0 + \sqrt {u_0^2 + 4n} )   ca la suite (u_n) est positive ...

la limite est immédiate ...



il est intéressant de comparer ce résultat avec la méthode/suite de Héron : un "simple" facteur 1/2 (en plus) fait converger vers \sqrt {u_0}

Posté par
LittleFoxre : Suites numeriques 09-01-21 à 23:08


Pas \sqrt{u_0} mais \sqrt{1}=1 en fait

Je suis très impressionné par ton minorant

Posté par
txxxre : Suites numeriques 09-01-21 à 23:46

Merci infiniment,  j'ai enfin compris !

Posté par
carpediemre : Suites numeriques 10-01-21 à 10:23

LittleFox : oui merci pour le correctif !!

txxx : mais l'idée initiale de Camélia est un classique ... que tu aurais du faire !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suites numeriques 26-02-21 à 22:54

Bonjour

On peut même montrer que \Large \boxed{u_n\sim\sqrt{2n}} sauf erreur bien entendu

Posté par
Ulmierere : Suites numeriques 27-02-21 à 12:07

Une autre preuve directe.

Après avoir vu que u est une suite positive,

u_{n+1}^2 = u_n^2 + 2 + \dfrac{1}{u_n^2} \geqslant u_n^2 + 2

donc

u_N^2 - u_0^2 = \sum_{n=0}^{N-1} (u_{k+1}^2-u_k^2) \geqslant 2N

puis u_N^2 \geqslant u_0^2 + 2N\xrightarrow[N\to\infty]{}+\infty

et comme u = |u|, on en déduit que u_N\to\infty aussi

Posté par
Ulmierere : Suites numeriques 27-02-21 à 12:20

Petite coquille, il faut bien-sûr lire \sum_{n=0}^{N-1} (u_{n+1}^2-u_n^2)

La version sans aucun mot

u_N = |u_N| = \sqrt{u_0^2 + 2N + \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{u_n^2}} \geqslant \sqrt{N} \xrightarrow[N\to\infty]{}\infty

Posté par
Ulmierere : Suites numeriques 27-02-21 à 12:24

Et aussi (désolé du triple post)

\dfrac{u_N}{\sqrt{2N}}= \sqrt{1 + \dfrac{u_0^2}{2N} + \dfrac12\dfrac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac1{u_n^2}}

La somme sous la racine est une moyenne de Cesaro de 1/u², donc tend vers 0 et donc on a l'équivalent mentionné par elhor_abdelali


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