la zone bleue !

Philoux

Un peu d'indulgence : je débute en JFF !
(et la mienne n'est pas très F)

Salut Nicolas et Philoux

Bonne idée, une JFF. Mais niveau terminale (surtout corsé), ça devra attendre quelques années

    Bonsoir. Ce n'est plus du SMS, ni du charabia, mais des abréviations ou initiales, pleines de sous-entendus (pour ceux qui les comprennent !). Vous pourriez expliquer, pour que les "nouveaux" soient un peu moins ignorants ce soir.   Merci. J-L

Bonjour jacqlouis,

Loin de moi l'idée d'utiliser des expressions codées ou présentant des sous-entendus. Je n'apprécie pas les échanges privés au sein d'un forum public (à l'exception d'un petit clin d'oeil de temps en temps, bien sûr). Si l'échange ci-dessus t'a donné une impression sectaire, et t'a fait sentir exclu, j'en suis désolé.

Il y a un certain nombres de JFF postées sur le forum, ce sont des énigmes posées Just For Fun, c'est-à-dire "juste pour s'amuser". Ce ne sont pas des énigmes officielles. Les messages ne sont pas cachés. C'est souvent des questions drôles, ou ouvertes, ou se résolvant par des programmes, ou difficiles, etc...

La mienne (ce message) n'est justement pas très F, c'est-à-dire pas très Fun : un peu trop sérieuse !

L'habitude dans les JFF est de répondre en blanqué, c'est-à-dire sous cette forme :
[ tex]\rm\white mon texte[ /tex]
La réponse n'apparait alors à l'écran que si on passe la souris dessus en maintenant le bouton appuyé. Cela permet de laisser les autres chercher, tout en donnant une réponse consultable par tous.

En effet, le texte est alors écrit en blanc sur fond blanc. Sauf quand le fond du message est... bleu, alors le texte apparaît alors un peu. D'où la "zone bleue".

Nicolas

Une erreur d'énoncé...

Soit , , ..., sept nombres réels tels que, .
Montrer qu'il existe au moins un couple avec tel que :

    Bonjour, Nicolas. " eh ben ouala ! " ... c'est clair, comme cela. Et merci pour l'explication.         J-L

Bonjour

Faut dire que le titre prête à confusion, on dirait une pettie annonce pour faire des rencontres....

Stella

il y a deux F, stella

mais même avec deux F...

Attention à la dérive

Philoux

Tu m'as bien comprise Philoux

Stella

...dans ce cas, il eût fallu un "s" final à "sérieuse"

bon, cessons-là, (faudrait demander à Nicolas quelle est la signification codée de a_i et a_j...)

Philoux

Tout à fait quel filou ce Nicolas, sous ses airs de matheux...

PS : Pour a_i et a_j tout est possible si tu as une imagination débordante. Bon arrêtons là sinon on va se faire taper sur les doigts...

Stella

J'ai l'impression que mon "?" après "sérieuse" dans le titre de cette JFF était tout à fait bienvenu, voire prémonitoire.

avait-il été mis pour anticiper ce développement ?

Philoux

Bien sûr. Je commence à vous connaître.

je pensais plutôt que le "sérieuse" était en opposition avec le "F" de "Fun"...

Philoux

Nous ne sommes que deux à délirer sur ton titre, les autres mathiliens sont des jeunots ils n'ont pas l'esprit aussi mal tournés que nous.

PS : Il nous connaît bien Nicolas, mais savais-tu réellement qui allait délirer aussi vite ?

Stella

Si tu connais le ch'ti, Stella (à en croire ton profil, le droit ) :

Stella, Ch'ti là, ch'eune sacrée amusette...

Philoux

PS: Tu connais le ch'ti ?

Stella

eune tchiquette

mais je me réfère à ce dico-là, que j'ai déjà envoyé à d'autres ch'tis de l'île

S'il t'intéresse, dis-le moi, je te l'envoie par mail

Philoux

D'accord si ce n'est pas trop lourd...

Stella

PS : tu me traduis ce que tu as écris car je suis une ch'ti d'adoption.

eune tchiquette = un peu

Amusette = qui aime s'amuser

Je te l'envoie À'ch't'heure

Philou

Philoux, tu parles combien de langues ?

le ch'ti n'est pas une langue, quoique ...

Et puis, internet est polyglotte

Philoux

Merci Philoux pour le dico. Reçu 5/5.

Attention Philoux tu vas vexer les ch'ti.

Stella

J'étais à mille lieux de penser que mon exercice pas-Fun allait ouvrir la voie à une discussion de café.

Tu vois, jacqlouis, c'est ça une JFF !

Une discussion de café avec sulement trois personnes, apparemment cela n'intéresse que nous.

Stella

Oui, personne ne s'intéresse à mon exercice.
Si au moins j'ai pu offrir une tribune libre aux ch'ti-fans, tout n'est pas perdu.

Tu vois, jacqlouis, c'est ça une JFF

tu es dur, nicolas, avec les JFF

Elles ne sont pas toutes comme celle-ci qui a dérivé du fait de ton titre (que ne dirais-je pour défendre Stella )

Philoux

En effet c'est un bide complet avec ton exercice mais qui nous a bien fait délirer tout de même, alors ne sois pas trop triste. Appremment ton JFF est trop prise de tête.

Stella

Bon...

salut

niveau terminale cet exo?

jespere que ca ne tombera jamais au bac alors

D'ailleurs, Nicolas, je l'ai cherché mais elle m'est innacessible...

Ton indice sent le Dirichlet mais ...

Tu peux donner la soluce ?

Philoux

Merci Philoux

Stella

Je vais la donner bientôt.
Je viens de découvrir une faiblesse que je tente d'éradiquer.

Indice plus clair :
a) Reconnais une formule trigonométrique (tan(a-b)=...), et simplifie l'expression proposée ; des arctan apparaissent
b) Applique le principe de Dirichlet

0 <= tan(ai - aj) < tan(pi/6)

-pi/2 < ai-aj < pi/6 (pi)

maintenant, comment relier le pi sur SIX avec les SEPT ai ?

Philoux

En blanqué !!!!! j'ai presque trouvé !!!!

Je rigolais

Tu es sûr de ton -pi/2 à gauche ?

oups !

0 <= tan(ai - aj) < tan(pi/6)

0 <= ai-aj < pi/6 (pi)

maintenant, comment relier le pi sur SIX avec les SEPT ai ?

Philoux

posts croisés

Philoux

Et ce ne sont pas des a_i, mais des arctan(a_i).
Mais ce n'est pas grave, tu y es presque.

Et les arctan sont par définition compris dans l'intervalle...

Devant le succès phénoménal remporté par cet exercice, voici une correction que j'espère claire, et surtout juste. Les lecteurs intéressés mais pressés peuvent sauter directement à la partie 3.

Enoncé
Soit , , ..., sept nombres réels tels que, .
Montrer qu'il existe au moins un couple avec tel que :


1. Idée générale de la démonstration

Reconnaître une formule trigonométrique et montrer que le problème revient à montrer qu'il existe tels que :
.
Or les sept appartiennent tous à , intervalle de largeur . On peut donc créer facilement six boîtes de largeur dans lesquelles il s'agit de les ranger. Il y en aura donc nécessairement 2 dans la même boîte. D'où le résultat.

2. Recherche de la solution

1. L'expression fait penser à la formule trigonométrique :

sachant que la condition est alors équivalente à , puisque :


2. Remplaçons donc par , ce qui est toujours possible.
On obtient :

On veut appliquer la formule (*).
Pour cela, il faut vérifier :
(i) : c'est immédiat puisque ;
(ii) : c'est dans l'énoncé.
Donc :


3. Il faut donc montrer qu'il existe tels que :

ou encore :


4. Or la fonction arctangente est strictement croissante sur .

On peut donc essayer de montrer qu'il existe tels que :


Ici, une difficulté apparaît, car uniquement si . Or, puisque les sont dans , on sait juste que :

On arrive à :

où

On contournera ce problème en prenant la démonstration dans l'autre sens (moins naturel) tout-à-l'heure. Prenons pour l'instant pour voir l'esprit de la fin de la preuve :
Montrer qu'il existe tels que

5. Chacun des sept est dans de largeur .
Divisions cet intervalle en six sous-intervalles de largeur :


On applique le principe des tiroirs de Dirichlet : si tiroirs sont occupés par objets, alors il y a au moins un tiroir occupé par plus d'un objet.

Donc il existe au moins deux dans le même sous-intervalle. Or ces intervalles sont de largeur avec au moins une borne exclue.
Donc il existe tels que

D'où le résultat.

3. Solution rédigée

(En prenant la démonstration par l'autre bout, moins naturel, la difficulté identifiée disparaît.)

Chacun des sept est dans , intervalle de largeur .
Divisions cet intervalle en six sous-intervalles de largeur :


On applique le principe des tiroirs de Dirichlet : si tiroirs sont occupés par objets, alors il y a au moins un tiroir occupé par plus d'un objet.

Donc il existe au moins deux dans le même sous-intervalle. Or ces intervalles sont de largeur avec au moins une borne exclue.
Donc il existe tels que
C'est-à-dire : il existe tels que
La fonction tangente est strictement croissante sur , donc :
Il existe tels que
Il existe tels que

On veut appliquer la formule :

sachant que la condition est alors équivalente à , puisque :

On a bien :
(i) : c'est immédiat puisque ;
(ii) : c'est dans l'énoncé.

Donc la formule s'applique et :
Il existe tels que
Or, pour tout réel, , donc on obtient :

Il existe tels que

ce qui est le résultat cherché.

Sauf erreur.

Nicolas

Merci pour cette réponse si détaillée.

N.B.: Pas de commentaires, ne veux pas dire pas de lecteurs... SI ?!?

J'ai bien peur que si !

Bonsoir, c'est une très jolie correction. Je l'ai ajoutée à mes favoris pour le jour où j'aurai récupéré un niveau terminale en maths. Ce n'est pas pour tout de suite, je vais d'abord m'attaquer à ça et à ça

Philoux sera ravi de trouver ton corrigé à son retour