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JFF somme et intégrales ... *

Posté par
lyonnais 28-07-06 à 10:19

Bonjour à tous

Pour vous divertir un petit peu ( bien que pour certains ça va être vite réglé ).

JFF somme :

Soit  4$\rm S_n = \Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}    Déterminer  4$\rm \lim_{n\to +\infty} S_n

JFF intégrale :

Calculer 4$\rm I_n = \Bigint_{0}^{\pi} cos(nx)cos^n(x) dx

Bonne chance

Posté par
tealcre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 10:29

salut!

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lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 10:33

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tealcre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 10:39

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lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 10:43

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Romain

Posté par
tealcre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 11:00

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lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 11:05

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tealcre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 11:07

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Posté par
lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 19:08

Passons à la correction :

JFF somme :

La méthode est de décomposer la fraction en éléments simples. Ainsi :

3$\rm \frac{1}{X(X+1)(X+2)} = \frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X+2}

en multipliant par X chaque membre et en substituant à X la valeur 0, on trouve  a = \frac{1}{2}
en multipliant par X+1 chaque membre et en substituant à X la valeur -1, on trouve  b = -1
en multipliant par X+2 chaque membre et en substituant à X la valeur -2, on trouve  c = \frac{1}{2}

d'où :

3$\rm \frac{1}{X(X+1)(X+2)} = \frac{1/2}{X}-\frac{1}{X+1}+\frac{1/2}{X+2}

et alors :

3$\rm S_n = \Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}
3$\rm S_n = \Bigsum_{k=1}^n \frac{1/2}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1/2}{k+2}
3$\rm S_n = \frac{1}{2}\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2}\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}
3$\rm S_n = \frac{1}{2}\Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\Bigsum_{q=2}^{n+1} \frac{1}{q} + \frac{1}{2}\Bigsum_{q'=3}^{n+2} \frac{1}{q'}       (changement d'indice q = k+1  et  q' = k+2 )
3$\rm S_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{4} + (\frac{1}{2}\Bigsum_{k=3}^n \frac{1}{k}) -\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-(\Bigsum_{q=3}^{n} \frac{1}{q}) +\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}+ (\frac{1}{2}\Bigsum_{q'=3}^{n} \frac{1}{q'})
3$\rm S_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}+ (\frac{1}{2}\Bigsum_{q'=3}^{n} \frac{1}{q'}+ \frac{1}{2}\Bigsum_{k=3}^n \frac{1}{k}-\Bigsum_{q=3}^{n} \frac{1}{q})
soit :

4$\rm \magenta \fbox{S_n = \frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}}

D'où on en déduit :  5$\rm \blue \fbox{\lim_{n\to +\infty} S_n = \frac{1}{4}}

Et maintenant passons à la deuxième JFF.

JFF intégrale :

On veut calculer  4$\rm I_n = \Bigint_{0}^{\pi} cos(nx)cos^n(x) dx
Pour cela, interessons nous à la suite  3$\rm A_n = \Bigint_{0}^{\pi} cos^n(x)e^{inx} dx

En effet, on a :   3$\rm I_n = Re(A_n)  .

Or l'on sait d'après les formules d'Euler que :    4$\rm cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

D'où on a :

3$\rm A_n = \Bigint_{0}^{\pi} (\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^ne^{inx} dx
3$\rm A_n = \frac{1}{2^n}\Bigint_{0}^{\pi}(\Bigsum_{k=0}^n \(n\\k\) e^{ikx}e^{-i(n-k)x})e^{inx} dx
3$\rm A_n = \frac{1}{2^n}\Bigint_{0}^{\pi}\Bigsum_{k=0}^n \(n\\k\) e^{2ikx} dx
3$\rm A_n = \frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^n \(n\\k\)\Bigint_{0}^{\pi} e^{2ikx} dx

Calcul pour  k\in N  de  3$\rm \Bigint_{0}^{\pi} e^{2ikx} dx

Si k = 0 alors  3$\rm \Bigint_{0}^{\pi} e^{2ikx} dx = \pi

Si k 0  alors  3$\rm \Bigint_{0}^{\pi} e^{2ikx} dx = [\frac{1}{2ik}e^{2ikx}]_0^{\pi} = \frac{1}{2ik}(e^{2ik\pi}-1) = 0

D'où finalement :  4$\rm A_n = \frac{\pi}{2^n}

et :

5$\rm \red \fbox{I_n = Re(A_n) = Re(\frac{\pi}{2^n}) = \frac{\pi}{2^n}}

Félicitation à tealc ( le seul réveillé on dirait )  

PS : c'est preque une démonstration à la kaiser ça

Je vais essayer de trouver une autre JFF qui reste sur les sommes ou les intégrales ...

Romain

Posté par
_Estelle_re : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 19:11

Oh le beau LaTeX

Une pensée à Nicolas et à la majorette .

Estelle

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:07

Bonsoir

Citation :
PS : c'est preque une démonstration à la kaiser ça




Citation :
Oh le beau LaTeX


D'accord avec toi, Estelle !

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:11

>> Kaiser

Je ne t'arrive pas à la cheville niveau LaTeX (et niveau maitrise des maths).

Par contre, si tu peux regarder en vitesse si je n'ai pas mis trop de bétises dans mon post ...

J'en est postée une autre, un peu plus dure " JFF somme (2) " :)

PS : On dirais pas comme ça, mais ça prend du temps de tout tapper en LaTeX !

Romain

Posté par
tealcre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:13

Merci en tout cas pour ce JFF (en revanche, le JFF somme (2) est lègèrement plus corsé... )

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:14

Voyons lyonnais, il ne faut pas te rabaisser comme ça !

Pour ton autre JFF, il me semble que cet exo a été posté sur le forum "autre" il y a quelques temps.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:21

>> Kaiser

Je ne me rabaisse pas, au contraire

Enfin bon, pour le niveau en math, c'est normal, je ne suis qu'en sup (enfin en spé l'année prochaine).

Mais pour le LaTeX, je suis lucide, ça prend trop de temps pour tout tapper :D

>> Kaiser et tealc :

A zut, je vais aller voir alors si elle a déjà été postée. C'est dommage, je la trouvais bien

Mais si vous avez le temps, essayez quand même de la résoudre !

En tout cas, j'apprend plein de choses ici

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:29

Citation :
Mais pour le LaTeX, je suis lucide, ça prend trop de temps pour tout tapper :D


Là, on est parfaitement d'accord !

Posté par
lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 28-07-06 à 21:33

Posté par
Fractalre : JFF somme et intégrales ... * 29-07-06 à 15:44

Citation :
Pour ton autre JFF, il me semble que cet exo a été posté sur le forum "autre" il y a quelques temps.

Je confirme, même que c'est moi qui l'ai posté.
(par contre, impossible de te retrouver un lien )

Fractal

Posté par
lyonnaisre : JFF somme et intégrales ... * 29-07-06 à 22:11

>> Fractal

Voici le lien que nous a gentillement trouvé kaiser

Combinaisons

Romain

Posté par
ottore : JFF somme et intégrales ... * 29-07-06 à 22:27

Salut,
pour le calcul de l'intégrale

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