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Combinaisons

Posté par
Fractal 21-04-06 à 15:28

Bonjour, j'essaye de résoudre le problème suivant, mais je ne vois pas le rapport entre la première question et la suite.

Soit n\in\mathbb{N}. Calculer \sum_{p=0}^n\(n\\p\)j^p. Jusque là ca va, j'ai trouvé (1+j)^n

En déduire A=\sum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})}\(n\\3k\), B=\sum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})}\(n\\3k+1\) et C=\sum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})}\(n\\3k+2\)

Comment déduire la valeur de A, B et C à partir de ce qui a été prouvé plus haut?
Je ne vois pas vraiment le rapport.

Merci d'avance à ceux qui essayeront de m'aider.

Fractal

Posté par Alev50 (invité)re : Combinaisons 21-04-06 à 15:57

On a : A + B + C = 2^n

Posté par
raymond CorrecteurCombinaisons 21-04-06 à 16:39

Bonjour.
Une petite idée : si J = j racine cubique de 1, on a j^{3k}=1,j^{3k+1}=j,j^{3k+2}=j^2
Donc : A + Bj + Cj^2 = (1+j)^n
Si J = 1, A + B + C = 2^n
Si J = j², A + Bj^2 + Cj = (1+j^2)^n
Il ne reste qu'à résoudre ce qui ne semble pas trop difficile.
Cordialement RR.

Posté par Alev50 (invité)re : Combinaisons 21-04-06 à 16:53

Joli

Posté par
raymond CorrecteurCombinaisons 21-04-06 à 17:48

Merci.
J'ai voulu poursuivre le calcul, j'obtiens
A = \frac{1}{3}(2^n+2cos(\frac{n\pi}{3}))
B = \frac{1}{3}(2^n+2cos(\frac{(n-2)\pi}{3}))
C = \frac{1}{3}(2^n+2cos(\frac{(n+2)\pi}{3}))
Sous réserve d'erreurs de calcul. Cordialement RR.


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