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JFF - somme et produit (suite)
JFF à 4 étoiles !
Bonjour,
Voici une nouvelle énigme, dans l'esprit de « Somme et Produit » postée il y a quelques semaines.
Un professeur donne à ses deux meilleurs jeunes étudiants, Pierre et Sophie, respectivement le produit et la somme de 2 nombres entiers A et B, tous deux supérieurs ou égaux à 2 (pas de limite supérieure cette fois…) . S'engage alors une conversation :
Pierre : je ne sais pas quels sont ces deux nombres.
Sophie : cela ne m'aide pas beaucoup.
P : ce que je peux dire, c'est que leur produit P est pair.
S : ça je le savais. Je peux te dire que leur somme S est impaire.
P : alors je sais quels sont ces deux nombres.
S : moi je ne sais toujours pas. Je peux juste dire que A répond à un critère 1, et B répond à un critère 2, mais cela me donne encore plusieurs solutions.
P : as-tu remarqué cette curiosité mathématique ? Avec cette somme S que tu connais, pour tout nombre « a » répondant à ce critère 1 (et bien sûr inférieur à S), le nombre « b » égal à « S-a » répond toujours au critère 2. La réciproque n'est d'ailleurs pas vraie.
S : oui je l'avais remarqué. Tout à l'heure, quand tu as dit « je ne sais pas quels sont ces deux nombres », j'ai pu écarter un seul des couples (a,b) répondant à ces deux critères. Mais je ne peux toujours pas conclure.
P : ok. Pour t'aider, je peux te dire que l'un de ces deux nombres correspond à mon année de naissance.
S : je sais maintenant quels sont ces deux nombres.
Pouvez-vous trouver ces deux nombres, sachant qu'il n'est précisé si l'année de naissance de Pierre est à 2 ou 4 chiffres ?
Bon courage !
Vu le nombre de réponses, cette JFF n'est pas encore un grand succès. A moins que vous soyez en train de caler dessus ?
Petit indice supplémentaire : la réponse est unique... grâce à l'âge de Pierre !
Bon courage !
Salut savoie,
...Vu le nombre de réponses, cette JFF n'est pas encore un grand succès...
Je pense que c'est surtout le fait qu'elle a déjà été plus ou moins posée sous des formes s'apparentant à la tienne.
Master_Och dernièrement et, pour ma part, il y a environ un an : 
Augmentations énigmatiques...
Bien sûr, ce n'est pas exactement la tienne, mais il y a peut-être un air de "déjà vu"...
Philoux
PS : par ailleurs, il y a pléthore de JFF en ce moment...
Merci Philoux pour ce lien sur l'énigme de Master Och. Celle que je propose est dans le même esprit ("somme et produit", décorticage d'un dialogue). Mais sa résolution est complètement différente ! Et le résultat aussi d'ailleurs.
Pour faire référence à cette enigme de Master Och, si mon patron me propose une prochaine augmentation à un taux correspondant au résultat de l'énigme que je propose : je suis preneur tout de suite !!
Rendons à César ce qui est à César : je faisais référence à ton énigme, Philoux, pas à celle de Master Och !
Cette énigme est-elle en train de passer dans les oubliettes... ? J'avoue que cela me vexerai un peu : la première énigme que je crée et que je poste... snif.
Prenons une bonne résolution, pour attirer quelques mathiliens : petit à petit (chaque jour ? au moins lorsque je peux me connecter, ce qui n'est pas régulier) un petit morceau de la réponse. Comme il y a entre Pierre et Sophie un long échange, avec 8 prises de paroles, cela me laisse (vous laisse !) le temps.
Allez, commençons par du facile :
Pierre : "je ne sais pas quels sont ces deux nombres."
Donc P n'est pas le produit de 2 nombres premiers.
A suivre au prochain épisode !
Bonjour,
Suite de la réponse :
Sophie : cela ne m'aide pas beaucoup. Nous non plus !
Pierre : ce que je peux dire, c'est que leur produit P est pair. Petite indication : au moins l'un des deux nombre A ou B est pair.
Sophie : ça je le savais. Seule possibilité pour que S sache que P est pair, c'est que des deux nombres A et B, l'un est pair, l'autre est impair.
S : Je peux te dire que leur somme S est impaire. Cela veut dire la même chose que la phrase précédente !
Récapitulons à ce stade de la résolution de l'énigme :
- au moins un des deux nombres A ou B n'est pas premier.
- l'un des deux nombre est pair, l'autre est impair.
Avec cela, on est bien avancé n'est-ce pas ? A vous de poursuivre...
Bon courage !
Bonjour,
Lundi matin, je constate que peu de mathiliens se sont acharnés sur cette JFF. Peu importe, je persévère...
Pierre : alors je sais quels sont ces deux nombres.
Pierre ne savait auparavant pas : il avait différentes solutions pour A et B. Avec la dernière remarque de Sophie, toutes les solutions sont écartées sauf une, la seule qui comporte un nombre pair et un nombre impair.
Faisons un décomposition en facteurs premiers de P. Ce que l'on peut dire à ce stade :
- au moins l'un des facteur premier est pair : le seul facteur premier pair est 2. Il est éventuellement élevé à une puissance n.
- au moins l'un des facteurs premiers est impair. Supposons qu'il y en ait deux (X et Y)
Alors : P = X * Y * 2^n
Les couples (A;B) suivants sont solutions : ( X ; Y*2^n) et ( X*Y ; 2^n) et ( Y ; X*2^n).
Conclusion : il ne peut pas y avoir deux (ou plus) facteurs premiers impairs différents. Le même raisonnement permet d'écarter aussi les solutions comportant un seul facteur premier impair élevé à une puissance supérieure à 1.
La décomposition de P en facteurs premiers est la suivante : un facteur premier impair, et 2 élévé à une puissance n. Comme P n'est pas le produit de 2 nombres premiers : n est strictement supérieur à 1.
P = 2^n * X avec X premier et impair, et n > 1.
Exemple : P = 3072.
A vous de poursuivre... ça se corse encore...
Bon courage !
Bonjour,
Toujours aucun mathilien sur cette énigme. Peu importe, je persévère, car les difficultés sont encore à venir.
Récapitulons à ce stade ce que nous savons de l'énigme :
- au moins un des deux nombres A ou B n'est pas premier.
- l'un des deux nombre est pair, l'autre est impair.
- P = 2^n * X avec X premier et impair, et n > 1.
La phrase du jour est :
Sophie : moi je ne sais toujours pas. Je peux juste dire que A répond à un critère 1, et B répond à un critère 2, mais cela me donne encore plusieurs solutions.
Voici donc les 2 critères (sans ordre hiérarchique pour l'instant sur les critères 1 et 2):
A répond au critère 1 : "A = 2^n avec n>1"
B répond au critère 2 : "B est un nombre premier impair", ou dit autrement : "B est un nombre premier différent de 2"
Prenons l'exemple de la solution de l'énigme postée par Master-Och en janvier dernier (enigme "somme et produit") :
S = A + B = 17.
On a : 17 = 4 + 13, seule possibilité pour que A et B répondent aux critères 1 et 2.
Donc S = 17 n'est pas une solution qui convient pour cette énigme, puisque Sophie nous dit : "j'ai encore plusieurs solutions".
Recherchons à ce stade un exemple de S qui convient :
S = 19
S = 2 + 17 : somme de 2 nombres premiers, donc ce n'est pas la solution.
S = 4 + 15 : 15 n'est pas premier, donc ce n'est pas la solution.
S = 8 + 11 : cette solution convient (et donne P = 88)
S = 16 + 3 : cette solution convient (et donne P = 48)
Il existe bien au moins 2 solutions qui conviennent pour S, lui permettant de dire "cela me donne encore plusieurs possibilités".
A ce stade de l'énigme, nous connaissons donc les 2 critères, et nous pressentons qu'il existe encore une infinité de solutions différentes, dont celles-ci :
- S = 19 ; P = 88 ; A = 8 ; B = 11
- S = 19 ; P = 48 ; A = 16 ; B = 3
A suivre...
Bonjour,
Je reviens après 2 jours d'absence... visiblement cela n'a toujours pas motivé de mathilien pour la résolutoin de cette énigme. Je persévère encore et toujours...
Pierre : as-tu remarqué cette curiosité mathématique ? Avec cette somme S que tu connais, pour tout nombre « a » répondant à ce critère 1 (et bien sûr inférieur à S), le nombre « b » égal à « S-a » répond toujours au critère 2. La réciproque n'est d'ailleurs pas vraie.
Nous connaissons donc les deux critères.
A répond au critère : "A = 2^n avec n>1"
B répond au critère : "B est un nombre premier différent de 2"
Reste à savoir quel est le critère 1 et quel est le critère 2. Supposons que le critère 1 est : "X est un nombre premier différent de 2". Tous les X répondants à ce critère sont 3, 5, 7, 11, ... Avec 3, 5 et 7 qui sont des nombres impairs consécutifs, nous ne pouvons pas trouver 3 puissances de 2 différentes tel qu'en les additionnant à 3, 5 et 7, on obtienne S. Ne reste alors que les cas triviaux ou S = 7 ou S = 5, mais on connaîtrait le résultat de l'énigme depuis longtemps.
Donc on peut définir l'ordre des critères :
Critère 1 : "A = 2^n avec n>1"
Crirère 2 : "B est un nombre premier différent de 2"
Voici quelques exemples de S qui permettent de répondre à ces 2 critères :
S = 7 = 2+5 = 4+3
S = 15 = 2+13 = 4+11 = 8+7
S = 21 = 2+19 = 4+17 = 8+13 = 16+5
S = 45 = 2+43 = 4+41 = 8+37 = 16+29 = 32+13
Sauriez-vous en trouver d'autres ?
Bon courage
Bonjour,
Nouvelle étape dans la résolution de l'énigme. Mais toujours aucun mathilien à l'horizon ?
Sophie : oui je l'avais remarqué. Tout à l'heure, quand tu as dit « je ne sais pas quels sont ces deux nombres », j'ai pu écarter un seul des couples (a,b) répondant à ces deux critères. Mais je ne peux toujours pas conclure.
Cela ne nous avance pas à grand chose... C'est fait exprès par le posteur d'énigme pour nous faire patienter. La seule conclusion que nous pouvons avoir à ce stade est que A et B répondent aux critères 1 et 2, mais aussi que parmi les différentes solutions possibles pour S, on paut écarter S = 7. En effet on sait que P ne peut être le produit de 2 nombres premiers, il ne resterait alors pour S = 7 une seule solution avec A et B égaux à 4 et 3. Mais Sophie nous informe qu'il lui reste encore plusieurs solutions possibles.
Mais au fait avons nous cherché toutes les solutions pour S ? En voici encore quelques-unes :
S = 7 = 2+5 = 4+3
S = 15 = 2+13 = 4+11 = 8+7
S = 21 = 2+19 = 4+17 = 8+13 = 16+5
S = 45 = 2+43 = 4+41 = 8+37 = 16+29 = 32+13
S = 75 = 2+73 = 4+71 = 8+67 = 16+59 = 32+43 = 64+11
S = 105 = 2+103 = 4+101 = 8+97 = 16+89 = 32+73 = 64+41
Sauriez-vous en trouver d'autre ?
A la prochaine fois, avec la découverte de la principale clé de l'énigme...
Bonjour,
Le week-end étant passé, je constate avec désespoir que je mène cette énigme à son terme sans qu'un seul mathilien ne s'y acharne.
Réponse à la question posée samedi : Sauriez-vous en trouver d'autre ?
Hormis les nombres S = 7, 1, 21, 45, 75, 105, il n'existe pas d'autres S tel que : pour tout n>1, le nombre P = S - 2^n (lorsqu'il est positif bien sûr) est un nombre premier.
C'est une conjecture (donc jamais démontré). En préparant l'énigme, j'avoue que j'ai recherché jusqu'à S = 100 000 pour me rendre compte que je n'en trouvais pas d'autre. Une recherche sur Google m'a fait découvrir que c'était une conjecture.
La fin de l'énigme se profile donc à grand pas. A vous chers mathiliens d'en déduire le résultat final, grâce à l'âge de Pierre :
P : ok. Pour t'aider, je peux te dire que l'un de ces deux nombres correspond à mon année de naissance.
Bon courage...
Salut savoie
un de ces deux nombres correspond à mon année de naissance
savoie, plus vieux que Mathusalem (969 ans) ?
Quel calendrier ?
Philoux
Victoire, une réponse ! Merci philoux
Ce que l'on sait à ce stade de l'énigme :
Les 2 nombres A et B recherchés répondent aux conditions suivantes :
A + B = S = 7 ou 12 ou 21 ou 45 ou 75 ou 105
A et B répondent aux critères 1 et 2 ci-dessus
A ou B est l'année de naissance de Pierre (qui est un jeune étudiant), à deux ou à quatre chiffres.
... donc visiblement l'année de naissance de Pierre est à 2 chiffres...
Bon courage
Bonjour,
Nous arrivons dans la dernière ligne droite… Arrive enfin le résultat que tous les mathiliens attendaient depuis quelques jours. Si si, je vous le promets, regardez le nombre de réponses proposées à cette énigme ! C'est un succès !
Nous savons que Pierre est un jeune étudiant. Soyons large : il a entre 15 et 30 ans. Nous sommes en 2006, donc il est né entre 1976 et 1991. Donc son année de naissance (à deux chiffres) est comprise entre les nombre 76 et 91.
Nous connaissons plusieurs possibilités pour S, somme de A et B. Nous savons que nous pouvons écarter S = 7 et toutes les cas ou l'un des deux nombres est égal à 2 (pour ne pas avoir 2 nombres premiers). Restent les cas suivant :
S = 15 = 4+11 = 8+7
S = 21 = 4+17 = 8+13 = 16+5
S = 45 = 4+41 = 8+37 = 16+29 = 32+13
S = 75 = 4+71 = 8+67 = 16+59 = 32+43 = 64+11
S = 105 = 4+101 = 8+97 = 16+89 = 32+73 = 64+41
Il y a un seul cas où apparaît un nombre compris entre 76 et 91 : il s'agit du nombre 89 associé au nombre 16.
Sophie : je sais maintenant quels sont ces deux nombres.
Nous aussi ! et la solution est unique : 16 et 89.
Merci de votre attention et de votre persévérance pour suivre la résolution de cette énigme !
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