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JFF : Une propriété (peu connue ?) des polygones réguliers 
(en tout cas, moi, je ne la connaissais pas avant de faire sa connaissance 
)
Bonjour,
voici un petit défi géométrique afin de trouver un résultat tout simple. (pour le démontrer, les connaissances de Terminale suffisent, à condition de bien les maitriser)
On considère un cercle de rayon 1 dans lequel on inscrit les polygones réguliers. Ensuite, on calcule le produit de toutes les distances entre un point et les autres points. On trouve les résultats suivants :
Pour le triangle équilatéral T1T2T3 :
Pour le carré C1C2C3C4 :
Pour le pentagone régulier P1P2P3P4P5 :
A la vue de ces résultats on émet la conjecture suivante :
Pur un polygone régulier A1A2A3...An inscrit dans un cercle de rayon 1, on a :
Démontrer cette conjecture.
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Dommage que si peu de monde ait participé ...
Voici une solution, en utilisant les nombres complexes sous forme exponentielle.
On se place dans un repère orthonormal d'origine O, centre du cercle circonscrit au polygone, et d'unité 1.
Soit l'affixe du point
(k de 1 à n). En prenant
, on a :
en posant
On a donc :
Donc :
Or, les sont les racines nièmes de l'unité, solutions de l'équation
D'une part, on a : (avec
)
D'autres part : (somme des termes d'une suite géométrique)
On en déduit donc que :
Le produit cherché est donc donné par :
Remarque :
Au passage, on démontre un autre résultat.
En effet, on a :
On peut en déduire que :
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