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question sur les polynômes.

Posté par
lyonnais 15-04-06 à 15:17

salut à tous

J'ai une petite question à vous poser.
Voila, je suis bloqué dans cet exercice :

On m'a demandé :

a°) montrer que pour n\in \mathbb{N}* , 3$ \rm X^{2n}-1 = (X^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X^2-2Xcos(\frac{k\pi}{n})+1)
-> pas de problème.

Mais ensuite on me dit :

b°) en déduire que  3$ \rm \fbox{\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n})=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}}

et là je vois pas du tout comment faire. J'ai pensé utiliser la propriété :

pour un polynome de degré n : 3$ \prod_{k=1}^{n} z_k = \frac{(-1)^na_0}{a_n}  mais j'y arrive pas

merci d'avance pour votre aide !

Posté par
kaiser Moderateurre : question sur les polynômes. 15-04-06 à 15:21

Bonjour lyonnais

Commence par simplifier ton égalité par \Large{X^{2}-1} et ensuite, évalue le polynôme en une valeur particulière.

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : question sur les polynômes. 15-04-06 à 15:25

ah je vois ce que tu veux dire kaiser merci

Si j'écris mon égalité sous la forme :

3$ \rm \frac{X^{2n}-1}{X^2-1} = \prod_{k=1}^{n-1}(X^2-2Xcos(\frac{k\pi}{n})+1)

je fais apparaître le produit.

Reste à trouver X pour que :

sin(\frac{k\pi}{2n}) = X^2-2Xcos(\frac{k\pi}{n})+1

C'est ça ?

Posté par
kaiser Moderateurre : question sur les polynômes. 15-04-06 à 15:31

Dans ta première égalité, à gauche, tu peux simplifier.
Par contre, pour la dernière, ça ne va être exactement ça car n'oublie pas que le résultat fait apparaître une puissance de 2.
Sinon, je te suggère de remplacer X par (juste pour voir ce que ça donne).

Posté par
lyonnaisre : question sur les polynômes. 15-04-06 à 15:35

je suis désolé kaiser , mais je ne comprend pas très bien.

Si je simplifis ma première égalité de gauche, je tombe sur le membre de droite non ?

Sinon, tu me suggères de remplacer X par quoi ?

je dois y aller, ma mère me cris dessus, j'ai un Rendez-vous
je revient dans la soirée.

Merci pour ton aide en tout cas

Posté par
kaiser Moderateurre : question sur les polynômes. 15-04-06 à 15:37

Désolé, je voulais dire "remplacer X par 1".
Pour la simplification à gauche, pense à la factorisation de \Large{a^{n}-b^{n}}.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : question sur les polynômes. 15-04-06 à 16:23

Bonjour;
Pour \fbox{x\in\mathbb{C}-\{\pm1\}} on a donc:
3$\fbox{\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=1+x^2+(x^2)^2+..+(x^2)^{n-1}=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(x^2-2xcos(\frac{k\pi}{n})+1)} et en faisant tendre x vers +1 on obtient donc 3$\fbox{n=\Bigprod_{k=1}^{n-1}2(1-cos(\frac{k\pi}{n}))=\Bigprod_{k=1}^{n-1}4sin^2(\frac{k\pi}{2n})=(2^{n-1}\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n}))^2} et vu que 3$\fbox{\forall k\in\{1,..,n-1\}\\\frac{k\pi}{2n}\in]0,\frac{\pi}{2}[} on voit que 4$\blue\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n})=\frac{sqrt n}{2^{n-1}}}

Posté par
lyonnaisre : question sur les polynômes. 16-04-06 à 02:35

ok merci à vous 2 !!

C'était pas si dur que ça en fait quand on regarde ce qu'a fait elhor ( et bonne intuition kaiser )

dodo maintenant

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : question sur les polynômes. 25-11-06 à 05:05

Bonjour,

Dans le même genre, mais en plus simple...
(inspiré de : http://maths-forum.com/showthread.php?p=139187)

3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad\bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}}

Démonstration.
Posons Q(z)=1+z+z^2+...+z^{n-1}
Pour z\neq 1, on a également :
Q(z)=\frac{z^n-1}{z-1}=\frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)}{z-1}=\bigprod_{k=1}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)

On fait tendre z vers 1 dans les deux expressions de Q(z) :
n=\bigprod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)=\bigprod_{k=1}^{n-1}e^{i\frac{k\pi}{n}}\left(e^{-i\frac{k\pi}{n}}-e^{i\frac{k\pi}{n}}\right)=\bigprod_{k=1}^{n-1}e^{i\frac{k\pi}{n}}\left(-2i\sin\frac{k\pi}{n}\right)
On prend le module de chaque membre :
n=2^{n-1}\bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}
D'où le résultat.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : question sur les polynômes. 25-11-06 à 12:28

On peut en déduire la réponse au problème de ce fil :
(Je recopie ce qui a été proposé sur http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=139234)

3$\begin{array}{rcl} \\ \left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\right)^2 &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2n}\right)\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{(n-k)\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\cos\frac{k\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}\sin\frac{k\pi}{n}\\ \\ &=& \frac{1}{2^{n-1}}\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}\\ \\ &=& \frac{1}{2^{n-1}}\frac{n}{2^{n-1}}\\ \\ &=& \left(\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\right)^2 \\ \end{array}

Donc :
3$\fbox{\forall%20n\in\mathbb{N}^*,\quad\bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}=\frac{\sqrt n}{2^{n-1}}}

Posté par
fusionfroidere : question sur les polynômes. 25-11-06 à 12:34

Qu'est-ce que c'est agréable à lire !

En manque de Latex Nicolas ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : question sur les polynômes. 25-11-06 à 12:36

Mince, je suis découvert !
Bonjour fusionfroide

(Je suis très intéressé par la trigonométrie [entre autres !])

Posté par
fusionfroidere : question sur les polynômes. 25-11-06 à 12:37

Ok


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